%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- PREAMBLE OG EKSTRA KOMMANDOER ----------->}
\input{../preamble.tex}
\setcounter{theaflnr}{3}                 %Definition af afleveringsnummer, til sektionsnummerering, forside og sidehoved
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}   %Hvis aktiv vises labels i margin - bør kun anvendes i draft
\linespread{1.2}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ----------->}
\begin{document}                         % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                        % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{../forside.tex}                   % Input af forsiden, der ligger i forside.tex
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<---------- START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ---------->}
\newpage                                 % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                        % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                     % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem
\setcounter{section}{\thetheaflnr}       % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------------------------- OPGAVEN ----------------------------->}
\subsection*{Radioaktive beryllium-kerner}
\ramme{ \textsuperscript{10}Be kerner dannes i atmosfæren blandt andet pga. kosmisk stråling. Disse kerner falder til jorden sammen 
        med nedbøren. En \textsuperscript{10}Be kerne har en levetid på $\tau = \SI{1.5e6}{}$ år, dvs. sandsynligheden, $p$, for at en 
        given kerne har overlevet en tid $t$ efter den er blevet dannet er $p=e^{-t/\tau}$. I en \SI{100000}{} år gammel iskerne var
        der oprindeligt $N$ \textsuperscript{10}Be kerner. }

\subsubsection*{Spørgsmål 1}
\ramme{ Hvad er sandsynligheden, $p_n$, for nu at finde $n$ styk \textsuperscript{10}Be kerner i prøven? }
Sandsynligheden $p_n = P(n|NpI)$ for at finde $n$ \textsuperscript{10}Be kerner i prøven -- når man kender det oprindelige antal kerner, $N$, samt deres individuelle sandsynlighed for at overleve, $p$ -- er givet ved en binomialfordeling, som givet i formel (2.4)\footnote{Når jeg henviser til formelnumre i denne opgave henviser jeg til notesættet til kurset, \citet{fys7noter}.}. Altså har jeg at
\begin{equation*}
 P(n|NpI) = \binom{N}{n} p^n (1-p)^{N-n} .
\end{equation*}
Når jeg indsætter den givne sandsynlighed $p=e^{-t/\tau}$, og udskriver binomialkoefficienten, får jeg altså at
\begin{equation}
 P(n|NpI) = \frac{N!}{n!(N-n)!} \,e^{-tn/\tau} \big( 1 - e^{-t/\tau} \big)^{N-n} .
 \label{eq:fordeling}
\end{equation}
%Med indsatte værdier, $t=\SI{100000}{}$ år og $\tau = \SI{1.5e6}{}$ år er dette altså
%\begin{equation*}
% P(n|NpI) = \frac{N!}{n!(N-n)!} \,(0.936)^n (0.0645)^{N-n} .
%\end{equation*}


\subsubsection*{Spørgsmål 2}
\ramme{ Hvad er middelværdien og variansen af fordelingen $p_n$? }
Middelværdien og variansen af en binomialfordeling har vi allerede udregnet generelt i bogen på side 31. Jeg har dermed at middelværdien af fordelingen i \eqref{eq:fordeling} er
\begin{equation*}
 \avg{n} = Np = N e^{-t/\tau} ,
\end{equation*}
mens variansen af fordelingen er
\begin{equation*}
 \sigma^2 = Np(1-p) = N e^{-t/\tau} \big( 1 - e^{-t/\tau} \big) .
\end{equation*}
%Med indsatte værdier er disse to altså udtrykt ved
%\begin{equation*}
% \avg{n} = 0.936 N , \qquad
% \sigma^2 = 0.936 \cdot 0.0645 N = 0.060 N .
%\end{equation*} 


\subsubsection*{Spørgsmål 3}
\ramme{ I praksis kender man ikke det oprindelige antal kerner, $N$, men man måler hvor mange kerner der ikke er henfaldet. Givet et
        målt antal overlevne kerner, $M$, hvad er da sandsynligheden, $P(N|M)$, for at det oprindelige antal er $N$? }
For at finde ud af dette bruger jeg Bayes' sætning (fra formel (1.21)), der siger at sandsynligheden for at det oprindelige antal er $N$, når man har målt $M$, er 
\begin{equation*}
 P(N|MpI) = \frac{P(M|NpI)}{P(M|pI)} P(N|pI) ,
\end{equation*}
og jeg antager bare at både $P(M|pI)$ og $P(N|pI)$ er konstanter, der skal findes ved normalisering (normaliseringen er heldigvis bare sådan at $P(M|pI)/P(N|pI)=1$). Jeg har altså at sandsynligheden for at det oprindelige antal kerner er $N$ -- når jeg har målt at der er $M$ tilbage til tiden $t$ -- er givet ved
\begin{equation*}
 P(N|MpI) = \frac{N!}{M!(N-M)!} \,e^{-tM/\tau} \big( 1 - e^{-t/\tau} \big)^{N-M} .
\end{equation*}




%\clearpage
\bibliography{../bibliography}

\label{lastpage}
\end{document}