%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- PREAMBLE OG EKSTRA KOMMANDOER ----------->}
\input{../preamble.tex}
\setcounter{theaflnr}{2}                 %Definition af afleveringsnummer, til sektionsnummerering, forside og sidehoved
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}   %Hvis aktiv vises labels i margin - bør kun anvendes i draft
\linespread{1.2}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ----------->}
\begin{document}                         % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                        % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{../forside.tex}                   % Input af forsiden, der ligger i forside.tex
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<---------- START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ---------->}
\newpage                                 % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                        % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                     % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem
\setcounter{section}{\thetheaflnr}       % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------------------------- OPGAVEN ----------------------------->}
\subsection*{Den generelle tilstandssum}
\ramme{ Vis at tilstandssummen, $Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$, har følgende egenskaber
        \begin{equation}
         Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) = (p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^N ,
         \label{bevis1}
        \end{equation}
        samt
        \begin{align}
         Z(0,\ldots,0) &= 1 \label{bevis2}\\
         \left. \pd{Z}{\lambda_i} \right|_{\lambda=0} &= \avg{n_i} = Np_i \label{bevis3}\\
         \left. \pdto{Z}{\lambda_i}{\lambda_j} \right|_{\lambda=0} &= \avg{n_in_j} = N(N-1)p_ip_j + Np_i \delta_{ij} , \label{bevis4}
        \end{align}
        hvor vi i den sidste ligning har brugt Kronecker's delta, givet ved
        \begin{equation}
         \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 
                                1& \quad\text{hvis } i=j , \\
                                0& \quad\text{ellers} .
                               \end{array} \right.
         \label{kronecker}
        \end{equation} \vspace{-0.3cm}}
Jeg ved først og fremmest fra formel\footnote{Når jeg henviser til formelnumre i denne opgave henviser jeg til notesættet til kurset, \citet{fys7noter}.} (2.10) at den generelle tilstandssum, for et eksperiment med $k$ mulige udfald, er defineret som
\begin{equation}
 Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) = \sum_{n_1,\ldots,n_k} e^{\lambda_1 n_1 + \cdots + \lambda_k n_k} P(A(n_1,\ldots,n_k) | I) ,
 \label{tilstandssum}
\end{equation}
hvor $n_1,\ldots,n_k$ er antallet af udfald af første type, anden type, osv., op til $k$'te type. Der summeres over alle de forskellige serier af $n_1,\ldots,n_k$ der kan være. Udfaldet med en bestemt serie af $n_1,\ldots,n_k$ værdier kaldes for $A(n_1,\ldots,n_k)$, og sandsynligheden for dette udfald er givet ved formel (2.9) til at være
\begin{equation}
 P(A(n_1,\ldots,n_k) | I) = \frac{N!}{n_1!\cdots n_k!} \,p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k} ,
 \label{sandsynlighed}
\end{equation}
hvor $N=n_1+\cdots+n_k$ og $p_i$ er sandsynligheden for udfald nummer $i$. 

\subsubsection*{Bevis af formel \eqref{bevis1}}
For at bevise formel \eqref{bevis1} udskriver jeg først og fremmest definitionen af tilstandssummen i \eqref{tilstandssum} ved at indsætte sandsynligheden givet i \eqref{sandsynlighed}. Herved får jeg at
\begin{equation*}
 Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) 
  = \sum_{n_1,\ldots,n_k} e^{\lambda_1 n_1 + \cdots + \lambda_k n_k} \frac{N!}{n_1!\cdots n_k!} \,p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k} .
\end{equation*}
Jeg kan nu omskrive leddene inde i summen, ved at se at
\begin{equation*}
 e^{\lambda_1 n_1 + \cdots + \lambda_k n_k} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k} 
  = (p_1 e^{\lambda_1})^{n_1}\cdots (p_k e^{\lambda_k})^{n_k} ,
\end{equation*}
hvorved tilstandssummen altså omskrives til
\begin{equation*}
 Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) 
  = \sum_{n_1,\ldots,n_k} \frac{N!}{n_1!\cdots n_k!} \,(p_1 e^{\lambda_1})^{n_1}\cdots (p_k e^{\lambda_k})^{n_k} .
\end{equation*}
Ud fra formel 3.17 i \citet{schaums} følger det da direkte at
\begin{equation*}
 Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) 
  = (p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^N ,
\end{equation*}
hvorved formel \eqref{bevis1} er eftervist. 

\subsubsection*{Bevis af formel \eqref{bevis2}}
For at bevise formel \eqref{bevis2} bruger jeg simpelthen logikken at summen af sandsynlighederne for alle mulige udfald netop skal være 1. Eftersom $e^{\lambda_1 n_1 + \cdots + \lambda_k n_k}$ med $\lambda_i = 0$ ($i=1,\ldots,k$) er lig $e^0=1$, er summen i \eqref{tilstandssum} netop denne sum over alle sandsynlighederne, og dermed er $Z(0,\ldots,0) = 1$. 

\subsubsection*{Bevis af formel \eqref{bevis3}}
For at bevise formel \eqref{bevis3} differentierer jeg udtrykket for $Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$ givet i \eqref{bevis1}. Jeg får på denne måde at
\begin{equation}
 \pd{Z}{\lambda_i} = N(p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^{N-1} p_i e^{\lambda_i} .
 \label{diff1}
\end{equation}
Når jeg sætter $\lambda_i = 0$ ($i=1,\ldots,k$) får jeg så at
\begin{equation*}
\left. \pd{Z}{\lambda_i} \right|_{\lambda=0} = N(p_1 + \cdots + p_k)^{N-1} p_i
                                             = N \,1^{N-1} p_i 
                                             = N p_i ,
\end{equation*}
Hvor jeg til sidst bruger at summen af alle sandsynlighederne altid må være lig 1 (og at en hvilken som helst potens af 1 er lig 1 igen).
       
Videre skal jeg også vise at $\p Z/\p \lambda_i |_{\lambda=0} = \avg{n_i}$, hvilket ses nemt ved at se på definitionen af $Z(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$ i \eqref{tilstandssum}. Når man differentierer denne mht. $\lambda_i$ kommer der et $n_i$ ned foran sandsynligheden (fra eksponentialfunktionen), og sætter man $\lambda_i = 0$ ($i=1,\ldots,k$) bliver hele eksponentialfunktionen lig 1. Dermed har man at
\begin{equation*}
 \left. \pd{Z}{\lambda_i} \right|_{\lambda=0} = \sum_{n_1,\ldots,n_k} n_i P(A(n_1,\ldots,n_k) | I) ,
\end{equation*}
der netop er udtrykket for gennemsnitsværdien $\avg{n_i}$. 

\subsubsection*{Bevis af formel \eqref{bevis4}}
For at bevise formel \eqref{bevis4} differentierer jeg endnu engang, og jeg får altså at \eqref{diff1} differentieret endnu engang, med hensyn til en ny $\lambda$-variabel $\lambda_j$ bliver
\begin{equation*}
 \pdto{Z}{\lambda_i}{\lambda_j} = N(N-1)(p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^{N-2} p_i p_j e^{\lambda_i + \lambda_j} ,
\end{equation*}
mens \eqref{diff1} differentieret med hensyn til den samme $\lambda$-variabel $\lambda_i$ endnu engang bliver
\begin{equation*}
 \pdn{2}{Z}{\lambda_i} = N(N-1)(p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^{N-2} p_i^2 e^{2\lambda_i} 
                         + N(p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^{N-1} p_i e^{\lambda_i} ,
\end{equation*}
fordi der her er et ekstra $\lambda_i$ i den ydre exponentialfunktion der skal tages hensyn til. Dette giver samlet for alle $i$ og $j$, at
\begin{equation*} \pdto{Z}{\lambda_i}{\lambda_j} = N(N-1)(p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^{N-2} p_i p_j e^{\lambda_i + \lambda_j} 
                                  + N(p_1 e^{\lambda_1} + \cdots + p_k e^{\lambda_k})^{N-1} p_i e^{\lambda_i} \delta_{ij} ,
\end{equation*}
hvor $\delta_{ij}$ netop er Kronecker's delta som vist i \eqref{kronecker}. 
       
Hvis jeg lige som da jeg beviste \eqref{bevis3} ovenfor nu sætter $\lambda_i = 0$ ($i=1,\ldots,k$) og genkender at summen af alle sandsynlighederne er 1, får jeg da at
\begin{align*}
 \left. \pdto{Z}{\lambda_i}{\lambda_j} \right|_{\lambda=0} 
    &= N(N-1)(p_1 + \cdots + p_k)^{N-2} p_i p_j + N(p_1 + \cdots + p_k)^{N-1} p_i \delta_{ij} \\
    &= N(N-1) p_i p_j + N p_i \delta_{ij} ,
\end{align*}
netop som ønsket. 
       
Videre skal jeg også vise at $\p^2 Z/\p \lambda_i \p \lambda_j |_{\lambda=0} = \avg{n_i n_j}$, hvilket ses lige så nemt som da jeg viste at $\p Z/\p \lambda_i |_{\lambda=0} = \avg{n_i}$ ovenfor. Jeg ser igen på definitionen af tilstandssummen i \eqref{tilstandssum}, og differentierer nu to gange, med hensyn til $\lambda_i$ og $\lambda_j$. Her kommer der et $n_i$ ned foran sandsynligheden fra den første differentation, mens der kommer et $n_j$ ned fra den anden. Sætter man nu igen $\lambda_i = 0$ ($i=1,\ldots,k$) bliver eksponentialfunktionen endnu engang lig 1, og dermed har man at
\begin{equation*}
 \left. \pdto{Z}{\lambda_i}{\lambda_j} \right|_{\lambda=0} = \sum_{n_1,\ldots,n_k} n_i n_j P(A(n_1,\ldots,n_k) | I) ,
\end{equation*}
der netop er udtrykket for gennemsnitsværdien $\avg{n_i n_j}$. 







%\clearpage
\bibliography{../bibliography}

\label{lastpage}
\end{document}