%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- PREAMBLE OG EKSTRA KOMMANDOER ----------->}
\input{../preamble.tex}
\setcounter{theaflnr}{1}                 %Definition af afleveringsnummer, til sektionsnummerering, forside og sidehoved
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}   %Hvis aktiv vises labels i margin - bør kun anvendes i draft
\linespread{1.2}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ----------->}
\begin{document}                         % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                        % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{../forside.tex}                   % Input af forsiden, der ligger i forside.tex
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<---------- START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ---------->}
\newpage                                 % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                        % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                     % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem
\setcounter{section}{\thetheaflnr}       % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------------------------- OPGAVEN ----------------------------->}
\subsection*{Alder af Ole, Peter og Jens}
\ramme{ Du møder Ole. Han fortæller at han har 2 brødre, Peter og Jens. Hvad er sandsynligheden for at Ole er ældre end Jens? }
Først og fremmest ser jeg på hvordan de tre brødre kan have aldre i forhold til hinanden. Hvis $a_i$ benævner alderen af broderen med navn $i$, er der følgende seks muligheder for deres indbyrdes aldre:
\begin{align*}
 M_1: \quad &a_\text{Ole} > a_\text{Peter} > a_\text{Jens} ,&
 M_2: \quad &a_\text{Ole} > a_\text{Jens} > a_\text{Peter} ,\\
 M_3: \quad &a_\text{Peter} > a_\text{Ole} > a_\text{Jens} ,&
 M_4: \quad &a_\text{Peter} > a_\text{Jens} > a_\text{Ole} ,\\
 M_5: \quad &a_\text{Jens} > a_\text{Ole} > a_\text{Peter} ,&
 M_6: \quad &a_\text{Jens} > a_\text{Peter} > a_\text{Ole} .
\end{align*}
Der er altså 6 forskellige rækkefølger (udfald) de kan have af aldre, hvilket jeg har benævnt med $M_i$ ($i=1,\ldots,6$). Når jeg vil finde udfaldet $M$, hvor Ole er ældre end Jens, ser jeg at
\begin{equation}
 M = M_1 + M_2 + M_3 ,
 \label{M}
\end{equation}
og sandsynligheden for $M$ finder jeg så til at være
\begin{equation}
 P(M|I) = P(M_1 + M_2 + M_3|I) ,
 \label{eq1}
\end{equation}
hvor $I$ er al den viden jeg ved i forvejen om de tre brødre (jeg antager at de faktisk {\slshape er} født på forskellige tidspunkter, og jeg ellers ikke rigtig ved noget om dem). Eftersom der ikke er anden forskel på de tre brødre end deres alder (i hvert fald ikke hvad jeg ved af), er der symmetri imellem de seks udfald $M_i$, hvorfor sandsynligheden for dem er lige stor, 
\begin{equation}
 P(M_i|I) = P(M_j|I) = \frac{1}{6} \quad \text{for} \quad i,j=1,\ldots,6 .
 \label{eq2}
\end{equation}
Her brugte jeg sumregelen, formel (1.11)\footnote{Når jeg henviser til formelnumre i denne opgave henviser jeg til notesættet til kurset, \citet{fys7noter}.}, til at finde at hver af sandsynlighederne må være en sjettedel. Med den generelle sumregel, formel (1.14), får jeg at
\begin{align*}
 P(M_1 + M_2 + M_3|I) &= P(M_1 + M_2|I) + P(M_3|I) - P((M_1+M_2)M_3|I) \\
                      &= P(M_1 + M_2|I) + P(M_3|I) \\
                      &= P(M_1|I) + P(M_2|I) - P(M_1M_2|I) + P(M_3|I) \\
                      &= P(M_1|I) + P(M_2|I) + P(M_3|I) ,
\end{align*}
hvor jeg ved at $P((M_1+M_2)M_3|I) = P(M_1M_2|I) = 0$ eftersom to udfald $M_i$ og $M_j$ med $i\neq j$ ikke kan ske samtidig. Hermed har jeg altså ud fra \eqref{eq1} og \eqref{eq2} at 
\begin{equation*}
 P(M|I) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} 
\end{equation*}
er sandsynligheden for at Ole er ældre end Jens.


\ramme{ Ole fortæller nu at han er ældre end Peter. Hvad er nu sandsynligheden for at Ole er ældre end Jens? }
Nu har forudsætningerne for udregningen ændret sig, og jeg ved nu at der gælder præmissen at Ole er ældre end Peter. Denne kalder jeg for $K$, og jeg ser at
\begin{equation}
 K = M_1 + M_2 + M_5 .
 \label{K}
\end{equation}
Jeg vil altså nu finde sandsynligheden for at Ole er ældre end Jens, når jeg ved at $K$ er sand, $P(M|KI)$, hvor $M$ stadig er mit ønskede udfald fra \eqref{M}. Jeg bruger først produktregelen, formel (1.12), hvor jeg omskriver så
\begin{equation*}
 P(MK|I) = P(K|I) P(M|KI) \qquad\Rightarrow\qquad P(M|KI) = \frac{P(MK|I)}{P(K|I)} .
\end{equation*}
Jeg ser nu at $MK = M_1 + M_2$, hvorved jeg videre ved indsættelse af definitionen af $K$ fra \eqref{K} får at
\begin{equation*}
 \frac{P(MK|I)}{P(K|I)} = \frac{P(M_1 + M_2|I)}{P(M_1 + M_2 + M_5|I)} 
                        = \frac{P(M_1|I) + P(M_2|I)}{P(M_1|I) + P(M_2|I) + P(M_5|I)} .
\end{equation*}
Her brugte jeg igen at den generelle sumregel bliver simplere når de forskellige udfald $M_i$ ($i=1,\ldots,6$) ikke kan ske samtidig. Så med min viden fra \eqref{eq2} får jeg altså at
\begin{equation*}
 P(MK|I) = \frac{2/6}{3/6} = \frac{2}{3} 
\end{equation*}
er sandsynligheden for at Ole er ældre end Jens, når jeg ved at han er ældre end Peter. 






%\clearpage
\bibliography{../bibliography}

\label{lastpage}
\end{document}