%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- PREAMBLE OG EKSTRA KOMMANDOER ----------->}
\input{preambledk.tex}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}   %Hvis aktiv vises labels i margin - bør kun anvendes i draft
\newcommand{\theaflnr}{2}                %Definition af afleveringsnummer, til sektionsnummerering, forside og sidehoved
\linespread{1.2}
\hyphenation{spænd-ings-for-sy-ning-en}  % Orddelingsregler
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ----------->}
\begin{document}                         % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                        % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{forsidedk.tex}                      % Input af forsiden, der ligger i forside.tex
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<---------- START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ---------->}
\newpage                                 % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                        % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                     % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem
\setcounter{section}{\theaflnr}          % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------------------------- OPGAVE 1 ----------------------------->}
\setcounter{subsection}{1}
\subsection*{Opgave 1}
%\subsubsection*{Opgave 13, noternes kapitel 2}
\ramme{ {\bfseries\sffamily Noternes kapitel 2, opgave 13} \\
        Vi betragter i denne opgave kredsløbet vist på figuren nedenfor. }

\begin{center}
\psset{unit=8mm}
\begin{pspicture}(0,1)(8.5,6.5) %\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
 %Nodes:
 \pnode(1,1){A}
 \pnode(5,1){B}
 \pnode(7.5,1){C}
 \pnode(1,5.5){D}
 \pnode(5,5.5){E}
 \pnode(7.5,5.5){F}
 %Components:
 \circledipole[labeloffset=0](A)(D){$\Ep(t)$}
 \capacitor[intensitylabel=$I$,intensitywidth=3\pslinewidth,intensitycolor=YellowGreen](D)(E){$C$}
 \coil[dipolestyle=elektorcurved,intensitylabel=$I_L$,intensitywidth=3\pslinewidth,intensitycolor=YellowGreen](F)(C){$L$}
 \resistor[intensitylabel=$I_R$,intensitywidth=3\pslinewidth,intensitycolor=YellowGreen](E)(B){$R$}
 %Wires:
 \wire(A)(B)
 \wire(B)(C)
 \wire(E)(F)
 %Markører:
 \pscircle[linecolor=YellowGreen](E){0.3}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection*{Spørgsmål a}
\ramme{ Opskriv knude- og maskeligningerne for kredsløbet. }
Knudeligningen for knuden vist med den grønne cirkel på figuren ovenfor (der er to knuder i systemet, men den anden, der er i den anden ende af ledningen med modstanden på, giver den samme knudeligning) er ifølge formel (2.17) i noterne givet ved
\begin{equation}
 \sum_i I_i = 0  \qquad\Rightarrow\qquad  I - I_R - I_C = 0   \qquad\Rightarrow\qquad  I = I_R + I_C .
 \label{eq:knudeligning}
\end{equation}
Systemet har tre masker, den første indeholder spændingsforsyningen $\Ep(t)$, kapacitoren $C$ og modstanden $R$, den anden indeholder modstanden $R$ og induktoren $L$, mens den tredje indeholder spændingsforsyningen $\Ep(t)$, kapacitoren $C$ og induktoren $L$. For den første maske får jeg ifølge formel (2.25) i noterne maskeligningen (hvor jeg går rundt i urets retning)
\begin{equation*}
 \Ep(t) = R I_R(t) + \frac{1}{C} \int_0^t I(t') \,\di t' ,
 %\label{eq:maskeligning1}
\end{equation*}
mens jeg får den anden maskeligning til at være (hvor jeg også går rundt med uret, deraf kommer minuset foran sidste led)
\begin{equation*}
 0 = L \dd{I_L}{t} - R I_R(t) .
 %\label{eq:maskeligning2}
\end{equation*}
Den tredje maskes maskeligning er på samme måde givet ved
\begin{equation*}
 \Ep(t) = \frac{1}{C} \int_0^t I(t') \,\di t' + L \dd{I_L}{t} .
 %\label{eq:maskeligning3}
\end{equation*}


\clearpage
\subsubsection*{Spørgsmål b}
\ramme{ Kredsen drives nu med en elektromotorisk kraft $\Ep(t) = \Ep_0 \cos{\omega t}$. Skriv knude- og maskeligningerne på kompleks form, og 
        find strømmen gennem modstanden ved hjælp af de komplekse impedanser. }
Jeg skriver den elektromotoriske kraft som realdelen af den komplekse elektromotoriske kraft $\tilde\Ep(t) = \tilde\Ep_0 e^{-i\omega t}$, så
\begin{equation*}
 \Ep(t) = \Ep_0 \cos{\omega t}
        = \Re{\big[ \tilde\Ep(t) \big]}
        = \Re{\big[ \tilde\Ep_0 e^{-i\omega t} \big]} ,
\end{equation*}
hvor jeg her har at $\tilde\Ep_0 = \Ep_0$ fordi der ikke er nogen ekstra fase $\theta$ i mit udtryk for cosinus (ellers ville jeg have at $\tilde\Ep_0 = \Ep_0 e^{-i\theta}$). 

På samme måde skriver jeg strømmen $I(t)$ som realdelen af den komplekse strøm $\tilde I(t) = \tilde I_0 e^{-i\omega t}$, så jeg har at
\begin{equation*}
 I(t) = \Re{\big[ \tilde I(t) \big]}
      = \Re{\big[ \tilde I_0 e^{-i\omega t} \big]} ,
\end{equation*}
og for strømmene $I_R(t)$ og $I_L(t)$ får jeg også bare at de er realdelene af de komplekse strømme $\tilde I_R(t) = \tilde I_{0,R} e^{-i\omega t}$ og $\tilde I_L(t) = \tilde I_{0,L} e^{-i\omega t}$ ved
\begin{equation*}
 I_R(t) = \Re{\big[ \tilde I_R(t) \big]} = \Re{\big[ \tilde I_{0,R} e^{-i\omega t} \big]}  \qquad\text{og}\qquad
 I_L(t) = \Re{\big[ \tilde I_L(t) \big]} = \Re{\big[ \tilde I_{0,L} e^{-i\omega t} \big]} .
\end{equation*}
Jeg får da knudeligningen, for samme punkt som jeg fandt den for i \eqref{eq:knudeligning}, ifølge formel (2.58) i noterne til at være
\begin{equation}
 \sum_i I_{0,i} = 0  \qquad\Rightarrow\qquad  
 \tilde I_0 - \tilde I_{0,R} - \tilde I_{0,L} = 0  \qquad\Rightarrow\qquad
 \tilde I_0 = \tilde I_{0,R} + \tilde I_{0,L} .
 \label{eq:knudeligningkompl}
\end{equation}
Maskeligningen for den første kreds, med spændingsforsyningen $\Ep(t)$, kapacitoren $C$ og modstanden $R$ må ifølge formel (2.59) i noterne være givet ved
\begin{equation}
 \tilde\Ep_0 = R \tilde I_{0,R} - \frac{1}{i\omega C} \tilde I_0 ,
 \label{eq:maskeligning1kompl}
\end{equation}
mens den for den anden maske, med modstanden $R$ og induktansen $L$, er givet ved (hvor jeg går rundt med urets retning)
\begin{equation}
 0 = - i \omega L \tilde I_{0,L} - R \tilde I_{0,R} .
 \label{eq:maskeligning2kompl}
\end{equation}
Den tredje, og sidste, maskeligning, for masken indeholdende spændingsforsyningen $\Ep(t)$, kapacitoren $C$ og induktoren $L$, er givet ved
\begin{equation}
 \tilde\Ep_0 = - \frac{1}{i\omega C} \tilde I_0 - i \omega L \tilde I_{0,L} .
 \label{eq:maskeligning3kompl}
\end{equation}

For at finde strømmen igennem modstanden finder jeg først den komplekse strøm $\tilde I_R(t) = \tilde I_{0,R} e^{-i\omega t}$, hvilket altså bare kræver at jeg finder $\tilde I_{0,R}$ fra ligningerne ovenfor. Jeg isolerer $\tilde I_{0}$ og $\tilde I_{0,L}$ i henholdsvis \eqref{eq:maskeligning1kompl} og \eqref{eq:maskeligning2kompl}, og får
\begin{equation*}
 \tilde I_0 = i \omega C (R \tilde I_{0,R} - \tilde\Ep_0)  \qquad\text{og}\qquad  \tilde I_{0,L} = -\frac{R}{i\omega L} \tilde I_{0,R} ,
\end{equation*}
som jeg kan indsætte i den komplekse knudeligning i \eqref{eq:knudeligningkompl}, hvorved jeg får at
\allowdisplaybreaks{\begin{align*}
 \tilde I_{0,R} = \tilde I_0 &- \tilde I_{0,L}
                = i \omega C (R \tilde I_{0,R} - \tilde\Ep_0) + \frac{R}{i\omega L} \tilde I_{0,R}  \\
                %= i \omega C R \tilde I_{0,R} - i \omega C \tilde\Ep_0 + \frac{R}{i\omega L} \tilde I_{0,R}  \qquad\Rightarrow \\
  &\Rightarrow\quad  1 = i \omega C R - \frac{i \omega C}{\tilde I_{0,R}} \tilde\Ep_0 + \frac{R}{i\omega L} \\
  &\Rightarrow\quad  \left( i \omega C R + \frac{R}{i\omega L} - 1 \right) \tilde I_{0,R} = i \omega C \tilde\Ep_0  \\
  &\Rightarrow\quad  \tilde I_{0,R}  = \frac{i \omega C}{i \omega C R + \frac{R}{i\omega L} - 1} \,\tilde\Ep_0
                                     = \frac{\omega^2 CL}{\omega^2 L C R - R + i \omega L} \,\tilde\Ep_0 ,  
\end{align*}}%
hvorfor jeg altså endeligt har at den komplekse strøm igennem modstanden er givet ved (hvor jeg har indsat at $\tilde\Ep_0=\Ep_0$)
\begin{equation}
 \tilde I_{R}(t) = \frac{\omega^2 CL}{\omega^2 L C R - R + i \omega L} \,\Ep_0 e^{-i\omega t} .
 \label{eq:IRkompleks}
\end{equation}



\subsubsection*{Spørgsmål c}
\ramme{ Vi vil nu bruge $\Ep_0 = 5$ V, $R = 500$ $\Omega$, $C = 50$ nF, $L = 40$ mH og $\omega = 2\pi \cdot 10$ kHz. Skriv den reelle strøm 
        gennem modstanden på formen $I = I_0 \cos{(\omega t + \phi)}$ og bestem $I_0$ og $\phi$. }
Jeg vil nu omskrive mit udtryk for $\tilde I_{R}(t)$ i \eqref{eq:IRkompleks} til polar form, hvorfor jeg skal finde modulus og argument for udtrykket. Jeg behøver kun koncentrere mig om brøken 
\begin{equation*}
 z = \frac{\omega^2 CL}{\omega^2 L C R - R + i \omega L} 
\end{equation*}
i udtrykket, da jeg ved at $\Ep_0$ er reel (ellers var den ikke målbar som en spænding), mens den sidste faktor, eksponentialfunktionen $e^{-i\omega t}$, allerede er på polarform. 

Modulus, eller længden, af $z$ finder jeg ved at bruge identiteten $|z| = \sqrt{z^\ast z}$ fra noternes formel (1.12), hvormed jeg altså får at
\begin{align}
 |z|  &= \sqrt{ \frac{\omega^2 CL}{\omega^2 L C R - R + i \omega L} \frac{\omega^2 CL}{\omega^2 L C R - R - i \omega L} } \nn\\
      &= \sqrt{ \frac{\omega^4 C^2 L^2}{\big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2} } \nn\\
      &= \frac{\omega^2 CL}{\sqrt{ \big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2} } .  \label{eq:spc:modulus}
\end{align}

For at kunne finde argumentet for $z$ skal jeg dog først lige omskrive den til formen $X+iY$, hvorved argumentet bare er givet ud fra identiteten 
\begin{equation}
 \tan\phi = \frac{Y}{X} 
 \label{eq:identitet}
\end{equation}
fra formel (1.7) i noterne. Denne omskrivning for at finde $X$ og $Y$, så jeg kan finde $\phi$ ved hjælp af \eqref{eq:identitet}, kan jeg udføre ved at gange i tæller og nævner med den komplekst konjugerede nævner, hvor jeg simpelthen får at
\begin{equation*}
 \frac{\omega^2 CL}{\omega^2 L C R - R + i \omega L} 
    = \frac{\omega^2 CL \big( \omega^2 L C R - R + i \omega L \big)}
            {\big( \omega^2 L C R - R + i \omega L \big)\big( \omega^2 L C R - R - i \omega L \big)} 
    = H \big( \omega^2 L C R - R + i \omega L \big) 
\end{equation*}
hvor jeg har sat $H = H(\omega,L,C,R)$ til at være en eller anden reel funktion som, for det jeg skal finde, ikke er nødvendigt at kende. Da har jeg altså at
\begin{equation*}
 X = H \big( \omega^2 L C R - R \big)  \qquad\text{og}\qquad  Y = H \omega L ,
\end{equation*}
hvorfor jeg finder argumentet for $z$ ud fra udtrykket i \eqref{eq:identitet} til at være (her ses det hvorfor funktionen $H$ ikke var nødvendigt at kende -- den går ud når jeg dividerer $X$ og $Y$ med hinanden)
\begin{equation}
 \tan\phi = \frac{\omega L}{\omega^2 L C R - R} .
 \label{eq:spc:argument}
\end{equation}
Så med modulus fra \eqref{eq:spc:modulus} og argumentet $\phi$ givet i \eqref{eq:spc:argument} fås altså at $z$ på polarform er givet ved
\begin{equation*}
 z = |z| e^{-i\phi} 
   = \frac{\omega^2 CL}{\sqrt{ \big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2 }} e^{-i\phi} , 
\end{equation*}
hvorfor strømmen i \eqref{eq:IRkompleks} altså endeligt kan skrives som
\begin{equation*}
 \tilde I_{R}(t) 
   = \frac{\omega^2 CL}{\sqrt{ \big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2 }} \,\Ep_0 e^{-i\phi} e^{-i\omega t}
   = \frac{\omega^2 CL}{\sqrt{ \big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2 }} \,\Ep_0 e^{-i(\omega t + \phi)} ,
\end{equation*}
der har realdelen givet ud fra Eulers formel $e^{ik} = \cos k - i \sin k$ ved
\begin{equation}
 I_{R}(t) = \frac{\omega^2 CL}{\sqrt{ \big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2 }} \,\Ep_0 \cos{(\omega t + \phi)} .
 \label{eq:IRreel}
\end{equation}
Jeg har altså fundet at $I_{0,R} = |z| \Ep_0$, hvor størrelsen $|z|$ var givet i \eqref{eq:spc:modulus}, mens fasen $\phi$ blev fundet til at være givet ud fra udtrykket i \eqref{eq:spc:argument}.

Med de i opgaven givne tal fås derfor at $I_{0,R} = 9.3$ mA og $\phi = 0.63$, så strømmen gennem modstanden altså efter formel \eqref{eq:IRreel} er givet ved udtrykket
\begin{equation}
 I_{R}(t) = I_{0,R} \cos{(\omega t + \phi)} 
          = 9.3 \,\text{mA} \cdot \cos{\left( 2\pi \cdot 10^{4} \,\text{Hz} \cdot t + 0.63 \right)} .
 \label{eq:IRreelmedtal}
\end{equation}
Jeg har tegnet et udsnit af denne strøm som funktion af tiden på grafen nedenfor, hvor jeg viser strømmen i milli-ampere og tiden i milli-sekunder. 

\psset{yunit=2mm,xunit=34mm}
\begin{center}
 \begin{pspicture}(-0.05,-11)(3.1,11.5) %\psgrid
  %Koordinatsystems punkter:
  \psline(-0.02,-10)(0,-10)  \rput[r](-0.022,-10){{\footnotesize -10}}   \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,-10)(3.1,-10)
  \psline(-0.02,-8)(0,-8)    \rput[r](-0.022,-8){{\footnotesize -8}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,-8)(3.1,-8)
  \psline(-0.02,-6)(0,-6)    \rput[r](-0.022,-6){{\footnotesize -6}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,-6)(3.1,-6)
  \psline(-0.02,-4)(0,-4)    \rput[r](-0.022,-4){{\footnotesize -4}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,-4)(3.1,-4)
  \psline(-0.02,-2)(0,-2)    \rput[r](-0.022,-2){{\footnotesize -2}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,-2)(3.1,-2)
                             \rput[r](-0.022,0){{\footnotesize 0}}
  \psline(-0.02,2)(0,2)      \rput[r](-0.022,2){{\footnotesize 2}}       \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,2)(3.1,2)
  \psline(-0.02,4)(0,4)      \rput[r](-0.022,4){{\footnotesize 4}}       \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,4)(3.1,4)
  \psline(-0.02,6)(0,6)      \rput[r](-0.022,6){{\footnotesize 6}}       \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,6)(3.1,6)
  \psline(-0.02,8)(0,8)      \rput[r](-0.022,8){{\footnotesize 8}}       \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,8)(3.1,8)
  \psline(-0.02,10)(0,10)    \rput[r](-0.022,10){{\footnotesize 10}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,10)(3.1,10)
  \psline(1,-0.34)(1,0)      \rput[t](1,-0.56){{\footnotesize 0.1}}
  \psline(2,-0.34)(2,0)      \rput[t](2,-0.56){{\footnotesize 0.2}}
  \psline(3,-0.34)(3,0)      \rput[t](3,-0.56){{\footnotesize 0.3}}
  %Koordinatsystem:
  \psline{->}(0,-10.5)(0,11)    \rput[c]{90}(-0.2,0){Strøm $I(t)$, [mA]}
  \psline{->}(-0.02,0)(3.1,0)   \rput[l]{0}(3.12,0){Tid $t$, [ms]}
  %Kurve:
  \pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=Periwinkle]{c-c}(0,7.514655827)(0.05,5.453743988)(0.1,2.858981689)(0.15,-0.015637657)(0.2,-2.888726281)
  (0.25,-5.479046249)(0.3,-7.533038996)(0.35,-8.8496454)(0.4,-9.299986853)(0.45,-8.839980796)(0.5,-7.514655827)(0.55,-5.453743988)
  (0.6,-2.858981689)(0.65,0.015637657)(0.7,2.888726281)(0.75,5.479046249)(0.8,7.533038996)(0.85,8.8496454)(0.9,9.299986853)
  (0.95,8.839980796)(1,7.514655827)(1.05,5.453743988)(1.1,2.858981689)(1.15,-0.015637657)(1.2,-2.888726281)(1.25,-5.479046249)
  (1.3,-7.533038996)(1.35,-8.8496454)(1.4,-9.299986853)(1.45,-8.839980796)(1.5,-7.514655827)(1.55,-5.453743988)(1.6,-2.858981689)
  (1.65,0.015637657)(1.7,2.888726281)(1.75,5.479046249)(1.8,7.533038996)(1.85,8.8496454)(1.9,9.299986853)(1.95,8.839980796)
  (2,7.514655827)(2.05,5.453743988)(2.1,2.858981689)(2.15,-0.015637657)(2.2,-2.888726281)(2.25,-5.479046249)(2.3,-7.533038996)
  (2.35,-8.8496454)(2.4,-9.299986853)(2.45,-8.839980796)(2.5,-7.514655827)(2.55,-5.453743988)(2.6,-2.858981689)(2.65,0.015637657)
  (2.7,2.888726281)(2.75,5.479046249)(2.8,7.533038996)(2.85,8.8496454)(2.9,9.299986853)(2.95,8.839980796)(3,7.514655827)
  (3.05,5.453743988)(3.1,2.858981689)
 \end{pspicture}
\end{center}



\clearpage
\subsubsection*{Spørgsmål d}
\ramme{ Find effekten afsat i modstanden til alle tider samt middeleffekten. }
For at finde effekten bruger jeg bare formel (2.7) i noterne, der siger at $P(t) = I(t)^2 R$, hvorfor jeg for udtrykket i \eqref{eq:IRreel} altså får at
\begin{equation*}
 P_R(t) = I_R(t)^2 R 
        = I_{0,R}^2 R \cos^2{(\omega t + \phi)} .
\end{equation*}
%\begin{align*}
% P_R(t) &= I_R(t)^2 R \\
%        &= \left( \frac{\omega^2 CL}{\sqrt{ \big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2 }} \,\Ep_0 \cos{(\omega t + \phi)} \right)^2 R \\
%        &= \frac{\omega^4 C^2 L^2 R \Ep_0^2}{\big( \omega^2 L C R - R \big)^2 + \omega^2 L^2 } \cos^2{(\omega t + \phi)} .
%\end{align*}
Middeleffekten af denne er simpelthen givet ved at jeg integrerer over en periode $T$, og samtidig dividerer med periodens længde. Eftersom perioden er givet ud fra frekvensen $\nu$ og vinkelfrekvensen $\omega$ ved
\begin{equation*}
 T = \frac{1}{\nu} = \frac{2\pi}{\omega} ,
\end{equation*}
får jeg at middeleffekten er
\begin{align*}
 \avg{P_R}
   = \frac{\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} P_R(t) \,\di t 
   = \frac{\omega}{2\pi} I_{0,R}^2 R \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \cos^2{(\omega t + \phi)} \,\di t 
   = \frac{\omega}{2\pi} I_{0,R}^2 R \frac{\pi}{\omega} 
   = \frac{1}{2} I_{0,R}^2 R .
\end{align*}
%\begin{align*}
% \avg{P_R}
%   &= \frac{\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} P_R(t) \,\di t \\
%   &= \frac{\omega}{2\pi} \frac{\omega^4 C^2L^2R \Ep_0^2}{\big( \omega^2 LCR - R \big)^2 + \omega^2 L^2 } 
%      \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \cos^2{(\omega t + \phi)} \,\di t \\
%   &= \frac{\omega}{2\pi} \frac{\omega^4 C^2L^2R \Ep_0^2}{\big( \omega^2 LCR - R \big)^2 + \omega^2 L^2 } \frac{\pi}{\omega} \\
%   &= \frac{1}{2} \frac{\omega^3 C^2L^2R \Ep_0^2}{\big( \omega^2 LCR - R \big)^2 + \omega^2 L^2 } .
%\end{align*}
Med de værdierne for $I_{0,R}$ og $\phi$, fundet i spørgsmål c, indsat får jeg altså at 
\begin{equation*}
 P_R(t) = 43.2 \,\text{mW} \cdot \cos^2{(2\pi\cdot 10^4 \,\text{Hz} \cdot t + 0.63)} ,
\end{equation*}
med middelværdien $\avg{P_R} = 21.6 \,\text{mW}$. Jeg har plottet disse to udtryk sammen på den følgende graf, hvor jeg viser effekten i milli-watt og tiden i milli-sekunder. Den orange linie er middeleffekten, mens den anden er den tidslige effekt.

\psset{yunit=1mm,xunit=34mm}
\begin{center}
 \begin{pspicture}(-0.05,0)(3.1,51) %\psgrid
  %Koordinatsystems punkter:
                           \rput[r](-0.022,0){{\footnotesize 0}}
  \psline(-0.02,5)(0,5)    \rput[r](-0.022,5){{\footnotesize 5}}       \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,5)(3.1,5)
  \psline(-0.02,10)(0,10)  \rput[r](-0.022,10){{\footnotesize 10}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,10)(3.1,10)
  \psline(-0.02,15)(0,15)  \rput[r](-0.022,15){{\footnotesize 15}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,15)(3.1,15)
  \psline(-0.02,20)(0,20)  \rput[r](-0.022,20){{\footnotesize 20}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,20)(3.1,20)
  \psline(-0.02,25)(0,25)  \rput[r](-0.022,25){{\footnotesize 25}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,25)(3.1,25)
  \psline(-0.02,30)(0,30)  \rput[r](-0.022,30){{\footnotesize 30}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,30)(3.1,30)
  \psline(-0.02,35)(0,35)  \rput[r](-0.022,35){{\footnotesize 35}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,35)(3.1,35)
  \psline(-0.02,40)(0,40)  \rput[r](-0.022,40){{\footnotesize 40}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,40)(3.1,40)
  \psline(-0.02,45)(0,45)  \rput[r](-0.022,45){{\footnotesize 45}}     \psline[linestyle=dotted,linecolor=gray](0,45)(3.1,45)
  \psline(0,-0.64)(0,0)    
  \psline(1,-0.64)(1,0)    \rput[t](1,-1.26){{\footnotesize 0.1}}
  \psline(2,-0.64)(2,0)    \rput[t](2,-1.26){{\footnotesize 0.2}}
  \psline(3,-0.64)(3,0)    \rput[t](3,-1.26){{\footnotesize 0.3}}
  %Koordinatsystem:
  \psline{->}(0,0)(0,50)       \rput[c]{90}(-0.2,25){Effekt $P_R(t)$, [mW]}
  \psline{->}(-0.02,0)(3.1,0)  \rput[l]{0}(3.12,0){Tid $t$, [ms]}
  %Kurve:
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=YellowOrange]{c-c}(0,21.6)(3.1,21.6)
  \pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=Periwinkle]{c-c}(0,28.20564522)(0.025,21.52736066)(0.05,14.85618655)(0.075,8.845143886)
  (0.1,4.082635405)(0.125,1.034848622)(0.15,0.000122141)(0.175,1.0797422)(0.2,4.168028066)(0.225,8.9626768)(.25,14.99435478)
  (0.275,21.67263934)(0.3,28.34381345)(0.325,34.35485611)(0.35,39.11736459)(.375,42.16515138)(0.4,43.19987786)(0.425,42.1202578)
  (0.45,39.03197193)(0.475,34.2373232)(0.5,28.20564522)(0.525,21.52736066)(0.55,14.85618655)(0.575,8.845143886)(0.6,4.082635405)
  (0.625,1.034848622)(0.65,0.000122141)(0.675,1.0797422)(0.7,4.168028066)(0.725,8.9626768)(0.75,14.99435478)(0.775,21.67263934)
  (0.8,28.34381345)(0.825,34.35485611)(0.85,39.11736459)(0.875,42.16515138)(0.9,43.19987786)(0.925,42.1202578)(0.95,39.03197193)
  (0.975,34.2373232)(1,28.20564522)(1.025,21.52736066)(1.05,14.85618655)(1.075,8.845143886)(1.1,4.082635405)(1.125,1.034848622)
  (1.15,0.000122141)(1.175,1.0797422)(1.2,4.168028066)(1.225,8.9626768)(1.25,14.99435478)(1.275,21.67263934)(1.3,28.34381345)
  (1.325,34.35485611)(1.35,39.11736459)(1.375,42.16515138)(1.4,43.19987786)(1.425,42.1202578)(1.45,39.03197193)(1.475,34.2373232)
  (1.5,28.20564522)(1.525,21.52736066)(1.55,14.85618655)(1.575,8.845143886)(1.6,4.082635405)(1.625,1.034848622)(1.65,0.000122141)
  (1.675,1.0797422)(1.7,4.168028066)(1.725,8.9626768)(1.75,14.99435478)(1.775,21.67263934)(1.8,28.34381345)(1.825,34.35485611)
  (1.85,39.11736459)(1.875,42.16515138)(1.9,43.19987786)(1.925,42.1202578)(1.95,39.03197193)(1.975,34.2373232)(2,28.20564522)
  (2.025,21.52736066)(2.05,14.85618655)(2.075,8.845143886)(2.1,4.082635405)(2.125,1.034848622)(2.15,0.000122141)(2.175,1.0797422)
  (2.2,4.168028066)(2.225,8.9626768)(2.25,14.99435478)(2.275,21.67263934)(2.3,28.34381345)(2.325,34.35485611)(2.35,39.11736459)
  (2.375,42.16515138)(2.4,43.19987786)(2.425,42.1202578)(2.45,39.03197193)(2.475,34.2373232)(2.5,28.20564522)(2.525,21.52736066)
  (2.55,14.85618655)(2.575,8.845143886)(2.6,4.082635405)(2.625,1.034848622)(2.65,0.000122141)(2.675,1.0797422)(2.7,4.168028066)
  (2.725,8.9626768)(2.75,14.99435478)(2.775,21.67263934)(2.8,28.34381345)(2.825,34.35485611)(2.85,39.11736459)(2.875,42.16515138)
  (2.9,43.19987786)(2.925,42.1202578)(2.95,39.03197193)(2.975,34.2373232)(3,28.20564522)(3.025,21.52736066)(3.05,14.85618655)
  (3.075,8.845143886)(3.1,4.082635405)
 \end{pspicture}
\end{center}





%\begin{align*}
% P_R(t) &= I_R(t)^2 R \\
%        &= \left( 9.3 \,\text{mA} \cdot \cos{\left( 2\pi \cdot 10^{4} \,\text{Hz} \cdot t + 0.63 \right)} \right)^2 \cdot 500 \,\Omega \\
%        &= 86.5 \,\text{mA}^2 \cdot \cos^2{\left( 2\pi \cdot 10^{4} \,\text{Hz} \cdot t + 0.63 \right)} \cdot 500 \,\Omega \\
%        &= 43.2 \,\text{mW} \cdot \cos^2{\left( 2\pi \cdot 10^{4} \,\text{Hz} \cdot t + 0.63 \right)}
%\end{align*}




\label{lastpage}
\end{document}
