%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- PREAMBLE OG EKSTRA KOMMANDOER ----------->}
\input{preambledk.tex}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}   %Hvis aktiv vises labels i margin - bør kun anvendes i draft
\newcommand{\theaflnr}{1}                %Definition af afleveringsnummer, til sektionsnummerering, forside og sidehoved
\linespread{1.2}
\hyphenation{spænd-ings-for-sy-ning-en}  % Orddelingsregler
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ----------->}
\begin{document}                         % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                        % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{forsidedk.tex}                      % Input af forsiden, der ligger i forside.tex
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<---------- START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ---------->}
\newpage                                 % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                        % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                     % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem
\setcounter{section}{\theaflnr}          % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------------------------- OPGAVE 1 ----------------------------->}
\setcounter{subsection}{1}
\subsection*{Opgave 1}
%\subsubsection*{Eksamen sommer 1999, opgave 1}
\ramme{ {\bfseries\sffamily Eksamen sommer 1999, opgave 1} \\
        Et elektrisk kredsløb indeholder en ideel spændingsforsyning med jævnspænding $V$, en spole med induktans $L$ samt en modstand med resistans
        $R$. Spændingsforsyningen kan kobles fra resten af kredsløbet med en kontakt $S$, som angivet på figuren. \\
        Antag at spændingsforsyningen har været tilsluttet i lang tid, dvs. med kontakten $S$ i position $A$. Til tiden $t=0$ skiftes kontakten fra
        position $A$ til position $B$. }

\begin{center}
\psset{unit=8mm}
\begin{pspicture}(0,4)(10,9) %\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
 %Nodes:
 \pnode(5.5,8){A}  \uput[l](A){$A$}
 \pnode(5.5,7){B}  \uput[l](B){$B$}
 \pnode(5.5,4){C}
 \pnode(1,4){D}
 \pnode(1,9){E}
 \pnode(5.5,9){F}
 \pnode(6.5,7.5){G}
 \pnode(9,7.5){H}
 \pnode(9,4){I}
 %Components:
 \battery(E)(D){$V$}
 \pcline[arrows=->](G)(A)  \bput{0}{$S$}
 {\multidipole(H)(I)
  \coil[dipolestyle=elektorcurved]{$L$}
  \resistor{$R$} }
 %Wires:
 \wire(F)(E)
 \wire[arrows=-o](F)(A)
 \wire[arrows=o-](B)(C)
 \wire(D)(C)
 \wire(C)(I)
 \wire[arrows=-*](H)(G)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection*{Spørgsmål 1}
\ramme{ Hvordan forløber strømmen i den lukkede kreds i tidsrummet $0 \leq t < \infty$? }
Når kontakten $S$ er slået over til position $B$ er der ikke forbindelse med spændingsforsyningen, så systemet består kun af en enkelt maske. For denne maske er Kirchhoffs anden lov givet ved
\begin{equation*}
 0 = L \dd{I}{t}(t) + R I(t)  \qquad\Rightarrow\qquad  \dd{I}{t}(t) = - \frac{R}{L} I(t) ,
\end{equation*}
hvor jeg antager at systemet ikke har nogen egenkapacitans. Denne differentialligning har en eksponentialfunktion som løsning, givet ved
\begin{equation}
 I(t) = I_0 \exp{\left( - \frac{Rt}{L} \right)} .
 \label{eq:difflignloesning}
\end{equation}
For at finde startstrømmen $I_0$ skal jeg bruge en begyndelsesbetingelse. Denne begyndelsesbetingelse finder jeg ud fra det faktum at kontakten $S$, før den blev slået over på position $B$ til tiden $t=0$, stod i positionen $A$ i meget lang tid. Dette betyder at kredsløbets strøm har fået lov til at komme i ligevægt, så der gik en konstant strøm igennem systemet. Denne konstante strøm $I_0$ vil da også være til stede til tiden $t=0$, for derefter at falde ifølge udtrykket i \eqref{eq:difflignloesning}.

%Denne kommer fra at kontakten $S$ havde stået i position $A$ i lang tid før kontakten blev flyttet over til position $B$ til tiden $t=0$. Strømmen igennem kredsløbet til tiden $t=0$ vil da være den samme som da den løb igennem systemet med kontakten i position $A$ -- for derefter af falde følgende udtrykket i \eqref{eq:difflignloesning}. 

Dette fænomen kommer af at induktoren $L$ gerne vil have at strømmen bliver ved med at være som den hele tiden har været. Da systemet før $t=0$ var kommet i ligevægt (efter den meget lange tid) var strømmen givet ved Ohms lov, 
\begin{equation}
 V = R I_0  \qquad\Rightarrow\qquad  I_0 = \frac{V}{R} ,
 \label{eq:ohmslov}
\end{equation}
hvorfor jeg altså nu ved at min strøm efter tiden $t=0$ er givet ved følgende tidslige udtryk, hvor jeg har indsat udtrykket for $I_0$ fra \eqref{eq:ohmslov} ind i udtrykket i \eqref{eq:difflignloesning}, 
\begin{equation}
 I(t) = \frac{V}{R} \exp{\left( - \frac{Rt}{L} \right)} .
 \label{eq:sp1loesn}
\end{equation}


\subsubsection*{Spørgsmål 2}
\ramme{ Angiv den totale energi afsat i resistansen $R$ i tidsrummet $0 \leq t < \infty$. }
Eftersom energien der afsættes per tid er givet ved effekten
\begin{equation*}
 \dd{E}{t} = P = U I(t) = R I(t)^2 ,
\end{equation*}
må der gælde at jeg kan integrere op ved at se at $\di E = R I(t)^2 \di t$, 
%\begin{equation}
% \di E = R I(t)^2 \di t ,
%\end{equation}
hvorved jeg får at den samlede afsatte energi over tidsrummet $0 \leq t < \infty$ er (hvor jeg har indsat min løsning af spørgsmål 1 fra \eqref{eq:sp1loesn})
\begin{align*}
 E_R &= \int_0^\infty R I(t)^2 \,\di t \\
     &= \int_0^\infty R \left(\frac{V}{R} \exp{\left( - \frac{Rt}{L} \right)}\right)^2 \,\di t \\
     &= \frac{V^2}{R} \int_0^\infty \exp{\left( - \frac{2Rt}{L} \right)} \,\di t \\
     &= \frac{V^2}{R} \left[ - \frac{L}{2R} \exp{\left( - \frac{2Rt}{L} \right)} \right]_0^\infty \\
     &= - \frac{V^2L}{2R^2} \left( \exp{(-\infty)} - \exp{(0)} \right) \\
     &= \frac{V^2L}{2R^2} .
\end{align*}


\subsubsection*{Spørgsmål 3}
\ramme{ Hvor stor var energien oplagret i induktansen $L$ lige før kontakten blev skiftet? Sammenlign med svaret i forrige spørgsmål. }
Energien der kræves for at lade en induktor op er $E_L = \frac{1}{2} L I^2$, hvor $I$ her er den endelige strømstyrke (Griffiths formel (7.29)), så hvis jeg indsætter mit udtryk for strømmen i kredsen til tiden $t=0$ fra formel \eqref{eq:ohmslov} får jeg altså at
\begin{equation*}
 E_L = \frac{1}{2} L I_0^2 = \frac{LV^2}{2R^2} = E_R ,
\end{equation*}
alstå netop den energi der bliver afsat i resistoren efter jeg har slået kontakten over på position $B$. Dette har den simple forklaring af der er energibevarelse! Den energi der var ophobet i induktoren bliver brugt på at forsøge at holde strømmen ved lige, men når dette gøres vil modstanden modtage energi fra systemet og omdanne den til varme -- hvilket bliver ved indtil strømmen er helt ebbet ud (hvilket ideelt set tager uendeligt lang tid). 





\label{lastpage}
\end{document}