Tilbage til oversigtssiden.
Den brugte bog i kurset var
Kurset foregik med forelæsninger, hvor der blev brugt dias til de forskellige emner. Disse dias kan hentes fra tabellen nedenfor:
| Forelæsning | Forelæsningspensum | Emne | Link |
|---|---|---|---|
| 25.08.2008 | Kapitel 1, Afsnit 1.1 - 1.2 | Klassisk mekanik | Download |
| 28.08.2008 | Kapitel 1, Afsnit 1.3 - 1.6 | D'Alemberts princip og Lagrangefunktionen | Download |
| 01.09.2008 | Kapitel 2, Afsnit 2.1 - 2.4 | Hamiltons princip og variationsregning | Download |
| 04.09.2008 | Kapitel 2, Afsnit 2.6 - 2.7 | Bevarelsessætninger og symmetrier | Download |
| 08.09.2008 | Kapitel 6 og 8, Afsnit 6.1,6.4,8.1(delvis) | Oscillationer | Download |
| 11.09.2008 | Kapitel 8, Afsnit 8.1,8.2(delvis) | Hamiltonfunktionen | Download |
| 15.09.2008 | Kapitel 8, Afsnit 8.2,8.5,8.6 | Mindste virkningers princip | Download |
| 18.09.2008 | Kapitel 9, Afsnit 9.1,9.2,9.3 | Kanoniske transformationer | Download |
| 22.09.2008 | Kapitel 9, Afsnit 9.4,9.5 | Den symplektiske metode | Download |
| 25.09.2008 | Kapitel 9, Afsnit 9.6,9.9 | Poissonparenteser | Download |
| 29.09.2008 | Kapitel 10, Afsnit 10.1,10.2 | Hamilton-Jacobi teori | Download |
| 02.10.2008 | Kapitel 11, Afsnit 11.1-11.5, 11.7 | Klassisk kaos | Download |
| 06.10.2008 | Kapitel 11, Afsnit 11.8,11.9 | Bifurkation og den logistiske ligning | Download |
Herunder følger hele sættet af ugesedler som skrevet på hjemmesiden i sin tid:
Mandag den 25. august:
Efter en præsentation af faget "Analytisk mekanik og kaos" gennemgik jeg afsnittene 1.1 og 1.2 i lærebogen. Power-point siderne som blev brugt ved forelæsningen kan I genfinde som pdf/ps-filer på siden "Forelæsninger". Vi fik også startet på regneøvelserne, opgave (derivations): 1.1 og 1.2. De to opgaver vil blive gennemgået på tavlen i timen fra 9.15-10 i A101 på torsdag. Under rubrikken "Regneøvelser" kan I se hvilke opgaver vi regner torsdag eftermiddag i Aud. 5 (1.3, 1.12 og 1.13). Vi vil starte disse eftermiddags-regneøvelser med, at I regner selvstændigt, kl. 13-14, hvor jeg vil være til stede og svare på evt. spørgsmål. Gennemgangen af opgaverne på tavlen vil tidligst begynde kl. 14.15. Forelæsningerne på torsdag fortsætter med afsnit 1.3, og jeg regner med at nå resten af kapitel 1.
Torsdag den 28. august:
I dag gennemgik jeg resten af kapitel 1, dvs. vi fik indført Lagrangefunktionen, L = T - V, og de tilhørende Lagranges ligninger. Jeg mangler at fortælle om Lagrangefunktionen for en ladet partikel i et elektromagnetisk (ikke-konservativt) felt. Det starter vi med på mandag. I næste uge regner jeg med at nå kapitel 2; første halvdel på mandag og resten på næste torsdag. Jeg vil overspringe eksempel 2 (Minimum surface of revolution) og eksempel 3 (The brachistochrone problem) i afsnit 2.2, samt hele afsnit 2.5 (Advantages of a variational principle formulation). Disse ting henvises til "kursorisk læsning". I afsnit 2.6 gør bogen meget ud af at bestemme den "generaliserede kraft" Qj svarende til forskydningen dqj. Jeg vil lægge vægten på det principielle indhold af afsnittet, at hvis systemet er uændret når qj -> qj + dqj, så er den tilsvarende generaliserede bevægelsesmængde pj en bevægelseskonstant (hvilket også indebærer at Qj = 0). Forelæsningerne om torsdagen kl. 10-12 vil fremover foregå i Aud. 1 (og ikke i A106 som er for lille). Lige netop på torsdag i næste uge (den 4. september) er Aud. 1 afsat til andet formål og forelæsningerne denne torsdag er flyttet til D317.
Mandag den 1. september:
Vi er nu nået halvvejs igennem 2. kapitel, til og med det sidste eksempel i afsnit 2.4. De to nye metoder indført her er vigtige også inden for andre områder (især statistisk mekanik): "Euler-Lagrange variationsregning" og "Lagrange multiplikatorer". Vi benytter 3. udgave af lærebogen, men der findes flere variationer af 3. udgave. Lige under ISBN nederst på 4. side af omslagssiderne står tallene 10 9 8 ... 3 2 1. Hvis serien stopper ved 2 eller 3 er det en nyere udgave end min der når ned til 1. Hvis nyoptrykkene blev benyttet til at fjerne småfejl og trykfejl ville det være fint; men desværre kan der indsnige sig nye fejl. I de nyere udgave er metoden med Lagrange multiplikatorer diskuteret lidt mere detaljeret. Her starter bogen med bindinger som er uafhængige af (d/dt)qj i ligning (2.20), men bogen har desværre fået vendt fortegnet foran ?a i de tre efterfølgende ligninger (2.21)-(2.23). Ideen med opgaven på side 47 i de nyere udgave er fin, men den er behandlet meget ringe. I kan finde de korrekte ligninger og en mere detaljeret og rigtig diskussion af opgaven i den omdelte note (vi vender tilbage til denne opgave i regneøvelserne): Lagranges multiplikatorer og Hamiltons princip Denne note erstatter første halvdel af bogens afsnit 2.4, som omhandler ikke-holonomiske bindinger, mens det sidste eksempel er i orden (se også foredragsgennemgangen af dette eksempel). Afsnit 2.5 er kursorisk læsning og på torsdag fortsætter jeg med afsnittene 2.6 og 2.7. Det næste vi skal i gang med bliver Kapitel 6 "Oscillations, afsnit 6.1 plus 1. side af 6.2 samt afsnit 6.4.
Torsdag den 4. september:
I dag er vi nået igennem resten af kapitel 2 (hvor afsnit 2.5 er henvist til kursorisk læsning). På mandag skal vi igennem to afsnit i Kapitel 6, og hvis vi når mere bliver det starten på Kapitel 8 om "The Hamiltonian Equations of Motion". De to store bidragsydere til videreudviklingen af den analytiske mekanik er Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) og William Rowan Hamilton (1805-1865).
Mandag den 8. september:
I dag gennemgik jeg Kapitel 6 om "Oscillations". Opgivelserne fra dette kapitel omfatter 6.1, den første side af afsnit 6.2 (indtil "Proceeding as..."), samt afsnit 6.4. Jeg gennemgik også første halvdel af afsnit 8.1 i Kapitel 8 om Hamilton-formalismen. Her bliver Hamiltonfunktionen udledt ved en Legendre transformation af Lagrangefunktionen og Hamiltons ligninger bliver opstillet. På torsdag fortsætter jeg med kapitel 8, hvor vi overspringer afsnit 8.3 og 8.4, samt sidste side (361).
Torsdag den 11. september:
Ved forelæsningerne i dag nåede vi igennem resten af 8.1 og afsnit 8.2 i Kapitel 8 (eksemplet på side 345 er først med i næste omgang forelæsningsnoter). - Ved regneøvelsen fik vi gennemgået opgaverne fra i mandags og vi nåede også frem til bevægelsesligningerne i opgave 6.4. Løsningen af disse Lagranges ligninger er besværlig, og som en hjælp kan I finde min version her.... På mandag fortsætter jeg med kapitel 8 (afsnit 8.5, bemærk overspringelserne nævnt oven for).
Mandag den 15. september:
I dag gennemgik jeg resten af det vi opgiver i Kapitel 8, dvs. afsnit 8.5 og 8.6. Som sagt overspringes afsnit 8.3 og 8.4. Bemærk også at ca. den sidste side i afsnit 8.6 diskuterer det relativistiske tilfælde, som derfor ikke høre med til pensum. "Mindste virkningers princip" blev illustreret med et lille eksempel (lodret fald), som I vil kunne finde i pdf/ps gengivelsen af "7. forelæsning". Jeg fik også lige introduceret torsdagens emne som er "kanoniske transformationer" fra kapitel 9. Her skal vi igennem afsnittene 9.1-9.6 samt 9.9. Jeg vil overspringe noget af stoffet i 9.5 og 9.6, for i stedet at få tid til at diskutere Hamilton-Jacobi teorien som er behandlet i afsnittene 10.1 og 10.2. På torsdag regner jeg med at nå de tre første afsnit 9.1-9.3.
Torsdag den 18. september:
Vi fik begyndt på kapitel 9, som behandler kanoniske transformationer af Hamiltonfunktionen. Disse transformationer er vigtige
af mange grunde. Teorien opnår større fleksibilitet, det bliver lettere at foretage "perturbationsregninger", der bliver mulighed
for at transformere til nye kanoniske variable, hvor bevægelsesligninger bliver lettere at løse, plus andre grunde som vil dukke op
i de kommende forelæsninger. Jeg fik gennemgået de tre første afsnit af kapitlet, 9.1 - 9.3. På mandag fortsætter vi med afsnit 9.4,
hvor den kanoniske transformation foretages direkte ved at udnytte den "symplektiske" notation. Jeg regner også med at nå det meste
af afsnit 9.5.
Jeg har en lille anmærkning til afsnit 9.2: Bogen benytter sig af en vektor notation fra (9.29') til (9.31),
men i alle de fire ligninger der optræder her, skal matricen i første led på højre side af ligningerne erstattes af den tilsvarende
transponerede matrix. - Det er imidlertid unødvendigt at indføre en vektor notation på dette sted; se min gennemregning på side 4 i
8. Forelæsning.
Mandag den 22. september:
I dag gennemgik jeg afsnit 9.4 som behandler kanoniske transformationer vha. den "symplektiske metode", og jeg fik også
gennemgået det meste af afsnit 9.5 om Poisson-parenteser. I afsnit 9.5 overlades en del til "kursorisk læsning" (vil ikke være
eksamensrelevant). Det drejer sig om: (i) Bevis af Jacobi identiteten og Lagrangeparentes, side 391 til 393 (indtil: "Another
important..."). (ii) Eksistens af generende funktion, side 395 og 396. På torsdag fortsætter jeg med afsnit 9.6. I afsnit 9.6
er der en lang diskussion af aktive versus passive transformationer (problemet er kun relevant for transformationer der afhænger
eksplicit af t). Jeg vil ikke gå ind i den diskussion, og dermed er siderne 399(midt, fra "Conversely...) til 405(nederst, linien
før ligning (9.116)) kursoriske.
Der er nogle rettelser til afsnit 9.5 og 9.6, som også gælder de nye udgaver: Nederst på
første side af afsnit 9.5 (side 388) skal transponering flyttes fra første til sidste led, og det gælder også den næste ligning
(9.71), hvor det er det sidste og ikke det første M der skal transponeres. Det der narrer er at det er første led der er transponeret
i (9.68) men her er u og v skalare størrelser. - I ligningen før (9.74) skal det sidste u være et v (er blevet rettet i de nyere
optryk). På trods af bogens omhyggelige diskussion af aktive/passive transformation i afsnit 9.6, er ligningen før (9.119) egentlig
ikke korrekt, eller, formuleret direkte, ligning (9.119) forudsætter at u = u(q,p), dvs. at u ikke afhænger eksplicit af t. Med
denne forudsætning er både ligningen før (9.119) og ligning (9.119) korrekte.
Der er problemer med sammenfald af
eksamensdatoer. Onsdag den 29. oktober er der skriftlig eksamen i Kvantemekanik. Jeg vil forsøge at flytte to af vores
eksamensdatoer til ugen før (så eksamensdatoerne bliver 23., 24. og 27. oktober). I vil høre nærmere når og hvis det lykkes. -
Der er nu opnået en "kompromisaftale" med eksamenskontoret om at eksamensdagene bliver: fredag den 24. oktober, samt mandag og
tirsdag den 27. og 28. oktober. Vi tales ved på torsdag.
Torsdag den 25. september:
Jeg gennemgik resten af afsnit 9.5 og afsnit 9.6 om Poissonparenteser, med de overspringelser der er nævnt ovenfor, og jeg
nåede også igennem hvad jeg vil sige om "Liouville teoremet" (afsnit 9.9). Bemærk at afsnit 9.7 og 9.8 ikke er med i
eksamensopgivelserne.
Nu er vi nået igennem 5 uger af kurset og har 2 uger tilbage. På mandag vil jeg færdiggøre
"Analytisk mekanik" delen af kurset, hvor vi skal igennem afsnit 10.1 og størsteparten af 10.2 ("third example" fra midt
på side 438 og afsnittet ud er kursorisk). Herefter mangler vi kun "kaos" afsnittet, Kapitel 11, som jeg regner med at
kunne dække i løbet af de følgende to gange, så der kan blive en sidste dag med et oversigtsforedrag.
Jeg vil forsøge
at undgå at den mundtlige eksamen skal blive en prøve i udenadslære, at I i stedet får lov at vise at I har forstået teorien.
Til det formål får I lov at udnytte overheads-foredragene som hjælpemiddel, dvs. at I vil blive præsenteret for dele af de
overheads jeg har benyttet ved foredragene, hvor I så vil blive bedt om at redegøre for regningerne og hvad de betyder. I
vil også blive bedt om at gennemføre nogle af mellemregningerne på tavlen (som vil være udeladt på overheads'ne). -
Eksamensdatoer: Fredag den 24. oktober, mandag den 27. oktober, tirsdag den 28. oktober. For at undgå at der bliver nogle
af jer der skal til eksamen to dage i træk, så vil det være en stor hjælp, hvis I sender en email til mig, hvis I ikke har
noget imod at jeres eksamensdag bliver tirsdag (send mail'en med det samme!).
Mandag den 29. september:
I dag gennemgik jeg de to første afsnit af Kapitel 10, om Hamilton-Jacobi teorien og dens anvendelse på den harmoniske
oscillator. Det tredie eksempel i 10.2, fra side 438(midt) og resten af afsnittet er kursorisk læsning. Hermed er vi blevet
færdige med Analytisk mekanik-delen af kurset, og vi mangler kun Kapitel 11 om "kaos". Her overspringer vi afsnit 11.6
(Hénon-Heiles Hamiltonian) og de sidste sider af afsnit 11.9, fra side 519(midt, fra "In the general case..") og afsnittet
ud. Jeg regner med at bruge to gange på "kaos", dvs. denne torsdag samt næste mandag.
På torsdag afsluttes de
almindelige regneøvelser. I den næste, sidste uge af kurset vil vi bruge regneøvelsestiden til at repetere forelæsningsnoterne.
Det betyder at jeg vil medbringe overheads'ne, og så håbe at nogle af jer vil melde jer, mere eller mindre frivillige, til
at fortælle hvad der står på dem.
Pensumlisten er klar og I kan hente den her... Bemærk at den "officielle" pensumsliste
er suppleret med fodnoter, som karakteriserer nogle af de opgivne sider som hørende til "kursorisk" læsning, dvs. det er helt
fint hvis I læser disse kursoriske sider, men stoffet vil ikke indgå i eksamensspørgsmålene.
En liste med eksamensspørgsmål
vil dukke op efter sidste forelæsning på næste mandag.
Thomas Døssing har bedt os om at minde jer om, at der er noget
der hedder "Kursusevaluering", som har åbent til og med den 21. oktober.
Eksamensdatoer: Fredag den 24. oktober,
mandag den 27. oktober, tirsdag den 28. oktober. Der var kun tre der svarede på min første henvendelse i torsdags.
Så nu vil jeg omformulere mit spørgsmål: Alle bedes sende en email til mig om hvilke dage I kan og ikke kan (inden
torsdag den 2. oktober). Jeg vil så prøve at lave en eksamensliste der efterkommer så mange af jeres ønsker som muligt.
Torsdag den 2. oktober:
Vi fik begyndt på Kapitel 11 om kaos. Jeg gennemgik hvad der svarer nogenlunde til afsnit 11.1 - 11.5 samt 11.7 og 11.8.
Afsnit 11.6 overspringes og på mandag afsluttes kapitlet med afsnit 11.9 (indtil midt på side 519). Der bliver ingen
regneøvelser i "kaos", men jeg kan kun opfordre til at I selv forsøger at undersøge nogle af de modeller der er taget med
i forelæsningerne og i de øvelsesopgaver der er til kapitlet. Forsøg at skrive Maple (eller Mathematica) programmer der
løser differentialligningerne.
Jeg regner med at afslutte kapitel 11 i første time på mandag. I anden time og i
regneøvelsestimen vil vi begynde på jeres repetition af stoffet, og fortsætter med dette på kursets sidste dag, torsdag
den 9. oktober.
Bemærk, jeg har nu udarbejdet en eksamensrækkefølge. I kan finde den på eksamenssiden. Hvis der er
nogen der stadigvæk ikke er tilfredse med deres placering på listen må I forsøge at bytte med en af de andre og fortælle
det til mig.
Mandag den 6. oktober:
I dag er starten på den sidste kursusuge. Jeg gennemgik resten af Kapitel 11 om "vejen til kaos" gennem bifurkationer
samt præsenterede fraktaler og deres dimensioner. I kan finde en masse på nettet om kaos og fraktaler. Her er et par
indgangslinks: Chaos Theory: A Brief Introduction og en kort
gennemgang af kaos teorien i encyklopædien Wikipedia. Der er
iøvrigt også et meget læseværdigt afsnit i "Den store danske encyklopædi" skrevet af Thomas Bohr. Jeg har også et link
til "the Mandelbrot set". Her er
også et download-link til timers underholdning: XaoS.
Hermed er vi færdige med pensumet. Vi benyttede de to sidste timer og vi vil benytte alle seks timer på torsdag til
at repetere foredrags-overheads'ne svarende til eksamensspørgsmålene. Disse spørgsmål vil I kunne finde
her og på "Eksamen"-siden.
Torsdag den 9. oktober:
Selv om det var anstrengende fik vi repeteret alle relevante overheads i løbet af dagen. - Jeg vil lige gøre opmærksom
på at:
1) I kan finde alt vedrørende den mundtlige eksamen under rubrikken "Eksamen", og også sted og tid for en spørgetime
(når bestilling af lokale er på plads - jeg regner med at tidspunktet bliver torsdag den 23. oktober kl. 10.15). Bemærk
at den foreløbige eksamensliste ikke er blevet ændret de sidste par dage, men check lige listen igen når vi kommer
tættere på eksamensdagene (også mht. lokaler).
2) Jeg har lovet Thomas Døssing at minde jer om, at der er noget der hedder "Kursusevaluering".
3) I kan finde et link til Heidars Maple program om dobbeltpendulet på siden med "Undervisningsmateriale".
4) Hvis I har spørgsmål er I meget velkomne til at kontakte mig på mit kontor, DS16 (jeg er dog væk de tre sidste dage af efterårsferien).
Tak for denne gang.