%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- PREAMBLE OG EKSTRA KOMMANDOER ----------->}
\input{preamble.tex}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}   %Hvis aktiv vises labels i margin - bør kun anvendes i draft
\newcommand{\theaflnr}{1}                %Definition af afleveringsnummer, til sektionsnummerering, forside og sidehoved
\linespread{1.2}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------- START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ----------->}
\begin{document}                         % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                        % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{forside.tex}                      % Input af forsiden, der ligger i forside.tex
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<---------- START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ---------->}
\newpage                                 % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                        % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                     % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem
\setcounter{section}{\theaflnr}          % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)

%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\typeout{<----------------------------- OPGAVE 1 ----------------------------->}
\setcounter{subsection}{1}
\subsection*{Opgave 1}
\ramme{ Denne opgave omhandler en partikel som befinder sig i en brønd med uendeligt høje vægge og med bredden $a$. Ved gentagne
        målinger måles nogle gange energien af partiklen og nogle gange positionen af partiklen. Systemet forberedes ved hver 
        måling i samme starttilstand, og måletidspunktet benævnes hver gang $t=0$. Fra disse målinger ved vi følgende om
        sandsynlighedsfordelingen af energien:
        \begin{equation}
         P(E_n) = \left\{ \begin{tabular}{ll}
                           $0.3$,&  n=1 \\
                           $0.7$,&  n=2 \\
                           $0$,&    n>2,
                          \end{tabular}   \right.
         \label{1:ligning1}
        \end{equation} 
        samt at
        \begin{equation}
         \avg{x} = 0.40 a.
         \label{1:avgx}
        \end{equation} 
        Opgaven får ud på at finde bølgefunktionen $\Psi (x,t)$ for $t=0$, d.v.s. ved starten af hvert forsøg. }


\subsubsection*{Delopgave a}
\ramme{ Forklar hvorfor $\Psi (x,0)$ har formen
        \begin{equation}
         \Psi (x,0) = c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) .
         \label{1:psiform}
        \end{equation} }
Man kan altid udtrykke $\Psi (x,0)$ som en linearkombination af egenfunktionerne, ifølge forklaringen lige efter formel [2.16] i \citetalias{griffiths}, \citep*{griffiths}, ved
\begin{equation*}
 \Psi (x,0) = \sum_n c_n \psi_n(x) ,
\end{equation*}
med passende (evt. komplekse) konstanter $c_n$. 

Siden jeg her har sandsynlighedsfordelingen i \eqref{1:ligning1} ved jeg at det kun er energierne $E_1$ og $E_2$ der kan optræde når man måler på systemet (da sandsynligheden for at måle de andre jo er lig nul). Eftersom konstanterne $c_n$ ifølge diskussionen efter eksempel 2.2 i \citetalias{griffiths} er et udtryk for sandsynligheden for at måle den tilhørende ($n$'te) energi ved udtrykket $P_n(E_n) = |c_n|^2$, og at der ifølge formel [2.38] i \citetalias{griffiths} gælder at
\begin{equation}
 \sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2 = 1 ,
 \label{1:cnsandsynligheder}
\end{equation}
kan udtrykket for $\Psi (x,0)$ netop kun indeholde $c_1$ og $c_2$ (da $0.3 + 0.7 = 1$) -- og deraf må linearkombinationen der beskriver starttilstanden netop være som i \eqref{1:psiform}.


\clearpage
\subsubsection*{Delopgave b}
\ramme{ Hvad kan vi sige om $c_1$ og $c_2$ ud fra ligning \eqref{1:ligning1}? }
Jeg har allerede i delopgave a forklaret at sandsynligheden for at måle energien $E_n$ er givet ved udtrykket 
\begin{equation*}
 P_n(E_n) = |c_n|^2  \qquad \Rightarrow \qquad |c_n| = \sqrt{P_n(E_n)} ,
\end{equation*}
hvorfor jeg ud fra formel \eqref{1:ligning1} kan finde at modulus (længden) af de to komplekse konstanter er 
\begin{equation*}
 |c_1| = \sqrt{0.3} \approx 0.55  \qquad\text{og}\qquad  |c_2| = \sqrt{0.7} \approx 0.84 .
\end{equation*}


\subsubsection*{Delopgave c}
\ramme{ Vis derefter at
        \begin{equation}
         \frac{a}{2} \left( 1 - \frac{64}{19 \pi^2} \Re(c_1^\ast c_2) \right) = \avg{x}.
         \label{1:forventxbevis}
        \end{equation} }
Jeg starter med ud fra formel [1.28] i \citetalias{griffiths} at se at
\newcommand{\spz}{\qquad\qquad}
\begin{align}
 \avg x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) \right)^\ast x \left( c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) \right) \,\di x \nn\\
%        &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \left( c_1^\ast \psi_1^\ast(x) + c_2^\ast \psi_2^\ast(x) \right) 
%                                      \left( c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) \right) \,\di x \nn\\
%        &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \big( c_1^\ast \psi_1^\ast(x) c_1 \psi_1(x) + c_1^\ast \psi_1^\ast(x) c_2 \psi_2(x)  \nn\\
%        &\spz                                + c_2^\ast \psi_2^\ast(x) c_1 \psi_1(x) + c_2^\ast \psi_2^\ast(x) c_2 \psi_2(x) \big) \,\di x \nn\\
        &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \big[ |c_1|^2 |\psi_1(x)|^2 + c_1^\ast c_2 \psi_1^\ast(x) \psi_2(x) \nn\\
        &\spz                                 + c_1 c_2^\ast \psi_1(x) \psi_2^\ast(x) + |c_2|^2 |\psi_2(x)|^2 \big] \,\di x \nn\\
        &= |c_1|^2 \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi_1(x)|^2 \,\di x 
                + c_1^\ast c_2 \int_{-\infty}^{+\infty} x \psi_1^\ast(x) \psi_2(x) \,\di x  \nn\\
        &\spz   + c_1 c_2^\ast \int_{-\infty}^{+\infty} x \psi_1(x) \psi_2^\ast(x) \,\di x 
                + |c_2|^2 \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi_2(x)|^2 \,\di x . \label{1:fireintegraler}
\end{align}
Disse fire integraler er ifølge \citetalias{schaums}, \citep*{schaums}, formel 17.17.2 og 17.17.10 givet ved følgende, efter indsættelse af $\psi_1$ og $\psi_2$ fra formel [2.28] i \citetalias{griffiths} (da disse er reelle bemærkes det at der gælder $\psi_n^\ast = \psi_n$):
\begin{align*}
 \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi_1(x)|^2 \,\di x  
              = \frac{2}{a} \int_0^a x \sin^2{\left( \frac{\pi}{a} x \right)} \,\di x 
             &= \frac{a}{2} \\
 \int_{-\infty}^{+\infty} x \psi_1^\ast(x) \psi_2(x) \,\di x  
              = \frac{2}{a} \int_0^a x \sin{\left( \frac{\pi}{a} x \right)} \sin{\left( \frac{2 \pi}{a} x \right)} \,\di x 
             &= - \frac{16a}{9\pi^2} \\
 \int_{-\infty}^{+\infty} x \psi_1(x) \psi_2^\ast(x) \,\di x  
              = \frac{2}{a} \int_0^a x \sin{\left( \frac{2 \pi}{a} x \right)} \sin{\left( \frac{\pi}{a} x \right)} \,\di x 
             &= - \frac{16a}{9\pi^2} \\
 \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi_2(x)|^2 \,\di x  
              = \frac{2}{a} \int_0^a x \sin^2{\left( \frac{2 \pi}{a} x \right)} \,\di x 
             &= \frac{a}{2} ,
\end{align*}
hvorfor min forventningsværdi i \eqref{1:fireintegraler} altså videre er givet ved
\begin{align}
 \avg x &= |c_1|^2 \frac{a}{2} - c_1^\ast c_2 \frac{16a}{9\pi^2} - c_1 c_2^\ast \frac{16a}{9\pi^2} + |c_2|^2 \frac{a}{2} \nn\\
        &= \frac{a}{2} \left( |c_1|^2 - c_1^\ast c_2 \frac{32}{9\pi^2} - c_1 c_2^\ast \frac{32}{9\pi^2} + |c_2|^2 \right) . \label{1:forventx2}
\end{align}
Men eftersom jeg ved at formel \eqref{1:cnsandsynligheder} gælder, og alle $c_n$'er pånær dem for $n=1$ og $n=2$ er nul ifølge formel \eqref{1:ligning1}, må der altså gælde at $|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1$, hvorfor jeg videre får \eqref{1:forventx2} til at være
\begin{align}
 \avg x &= \frac{a}{2} \left( 1 - c_1^\ast c_2 \frac{32}{9\pi^2} - c_1 c_2^\ast \frac{32}{9\pi^2} \right) \nn\\
        &= \frac{a}{2} \left( 1 - \frac{32}{9\pi^2} \left( c_1^\ast c_2 + c_1 c_2^\ast \right) \right). \label{1:forventx3}
\end{align}
Hvis jeg nu ser på de to komplekse konstanter $c_1$ og $c_2$ som opdelt i deres reelle og imaginære dele får jeg at
\begin{align*}
 c_1 = a_1 + i b_1  & \qquad \Rightarrow \qquad  c_1^\ast = a_1 - i b_1 \\
 c_2 = a_2 + i b_2  & \qquad \Rightarrow \qquad  c_2^\ast = a_2 - i b_2 ,
\end{align*}
hvilket medfører at
\begin{align*}
 c_1^\ast c_2 + c_1 c_2^\ast &= \left( a_1 - i b_1 \right)\left( a_2 + i b_2 \right) + \left( a_1 + i b_1 \right)\left( a_2 - i b_2 \right) \\
                             &= a_1 a_2 + i a_1 b_2 - i b_1 a_2 + b_1 b_2 + a_1 a_2 - i a_1 b_2 + i b_1 a_2 + b_1 b_2 \\
                             &= 2 a_1 a_2 + 2 b_1 b_2 
                              = 2 \,\Re(c_1 c_2^\ast) 
                              = 2 \,\Re(c_1^\ast c_2) ,
\end{align*}
hvorfor jeg altså endeligt får min forventningsværdi af $x$ i \eqref{1:forventx3} til at være
\begin{equation*}
 \avg x = \frac{a}{2} \left( 1 - 2 \frac{32}{9\pi^2} \Re(c_1^\ast c_2) \right) 
        = \frac{a}{2} \left( 1 - \frac{64}{9\pi^2} \Re(c_1^\ast c_2) \right) ,
\end{equation*}
som er det samme som i formel \eqref{1:forventxbevis}, hvilket var det der skulle vises. 



\subsubsection*{Delopgave d}
\ramme{ Find endelig den relative fase $\phi$ mellem $c_1$ og $c_2$. }
Jeg skriver de to komplekse konstanter som produktet mellem deres moduli og faser, og får altså at
\begin{align*}
 c_1 = |c_1| e^{i\phi_1}  & \qquad \Rightarrow \qquad  c_1^\ast = |c_1| e^{-i\phi_1} \\
 c_2 = |c_2| e^{i\phi_2}  & \qquad \Rightarrow \qquad  c_2^\ast = |c_2| e^{-i\phi_2} ,
\end{align*}
hvorfor jeg har at
\begin{equation}
 c_1^\ast c_2 = |c_1| |c_2| e^{-i \phi_1 + i \phi_2} 
              = |c_1| |c_2| e^{i \left( \phi_2 - \phi_1 \right)}
              = |c_1| |c_2| e^{- i \phi} , 
 \label{1:ephi}
\end{equation}
når jeg har defineret den relative fase $\phi$ mellem $c_1$ og $c_2$ til at være $\phi = \phi_1 - \phi_2$. Med Eulers formel $e^{-ix}=\cos x - i\sin x$ får jeg da \eqref{1:ephi} til at være
\begin{equation*}
 c_1^\ast c_2 = |c_1| |c_2| \left( \cos \phi - i \sin \phi \right) , 
\end{equation*}
hvorfor den reelle del af denne er
\begin{equation}
 \Re\left( c_1^\ast c_2 \right) = |c_1| |c_2| \cos \phi.
 \label{1:reeldel}
\end{equation}
Jeg kan nu indsætte formel \eqref{1:avgx} i formel \eqref{1:forventxbevis}, og se at
\begin{equation*}
 0.40 a = \frac{a}{2} \left( 1 - \frac{64}{19 \pi^2} \Re(c_1^\ast c_2) \right)   \quad\Rightarrow\quad
 0.40 = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{64}{19 \pi^2} \Re(c_1^\ast c_2) \right),
\end{equation*}
i hvilket jeg kan indsætte mit udtryk i \eqref{1:reeldel}, og altså få et udtryk for den relative vinkel $\phi$ som funktion af de to moduli af $c_1$ og $c_2$:
\begin{align*}
 \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{64}{19 \pi^2} |c_1| |c_2| \cos \phi \right)  &= 0.40   \quad\Rightarrow\\
 1 - \frac{64}{19 \pi^2} |c_1| |c_2| \cos \phi                             &= 0.80   \quad\Rightarrow\\
 \frac{64}{19 \pi^2} |c_1| |c_2| \cos \phi                                 &= 0.20   \quad\Rightarrow\\
 |c_1| |c_2| \cos \phi                                                     &= 0.20 \frac{19 \pi^2}{64}   \quad\Rightarrow\\
 \cos \phi                                                                 &= 0.20 \frac{19 \pi^2}{64} \frac{1}{|c_1| |c_2|}   \quad\Rightarrow\\
 \phi                                                                      &= \cos^{-1} \left( 0.20 \frac{19 \pi^2}{64|c_1| |c_2|} \right) .
\end{align*}
Her kan jeg så indsætte hvad jeg fandt i delopgave b, så jeg får $\phi$:
\begin{equation*}
 \phi = \cos^{-1} \left( 0.20 \frac{19 \pi^2}{64\sqrt{0.3}\sqrt{0.7}} \right) 
      \approx 0.920 
      \approx 0.293 \pi .
\end{equation*}




%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\clearpage
\typeout{<----------------------------- OPGAVE 2 ----------------------------->}
\setcounter{subsection}{2}
\subsection*{Opgave 2 (Problem 2.14)}
\ramme{ A particle is in the ground state of the harmonic oscillator with classical frequency $\omega$, when suddenly the spring 
        constant quadruples, so $\omega' = 2 \omega$, without initially changing the wave function (of course, $\Psi$ will now 
        \emph{evolve} differently, because the Hamiltonian has changed). What is the probability that a measurement of the energy 
        would still return the value $\hbar \omega /2$? What is the probability of getting $\hbar \omega$? }
De forskellige energier der er mulige for systemet med den nye fjederkonstant er ifølge formel 2.83, \citetalias{griffiths}, givet ved
\begin{equation*}
 E_n' = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega' 
      = 2 \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega ,
\end{equation*}
der svarer til energierne $\hbar\omega, 3\hbar\omega, 5\hbar\omega, 7\hbar\omega, \cdots$. Det er altså slet ikke muligt at få systemet ned i energien $\hbar \omega /2$, så sandsynligheden for at måle denne energi er lig nul. 

Grundtilstanden for det ændrede system har energien $E_0' = \hbar \omega$, hvorfor det altså er grundtilstandens energi jeg skal finde sandsynligheden for. Dette gøres ved at udnytte at alle egentilstande for systemet er ortogonale -- så man kan bruge teorien fra Fourierrækker, der siger at sandsynligheden for at få energien $E_n$ ved en måling er proportionalt med konstanten $c_n$, givet i formel [2.34], \citetalias{griffiths}:
\begin{equation*}
 c_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_n(x)^\ast f(x) \,\di x ,
\end{equation*}
hvor min funktion $f(x)$ er den funktion som er starttilstanden for systemet til tiden $t=0$. I denne opgave er denne starttilstand tilstanden lige før fjederkonstanten ændrer sig, så $f(x)=\psi_0(x)$. Derudover er $\psi_n(x)^\ast$ her den $n$'te bølgefunktion af systemet \emph{efter} ændringen af fjederkonstanten, som jeg vil kalde $\psi_n'(x)$. Det skal derudover bemærkes at denne sidste bølgefunktion er reel (da den er givet i formel [2.59] i \citetalias{griffiths}), hvorfor jeg ikke behøver bekymre mig om at den skal kompleks konjugeres. Jeg får derfor udtrykket
\begin{equation*}
 c_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_n'(x) \psi_0(x) \,\di x ,
\end{equation*}
og da sandsynligheden for at måle den $n$'te energi netop er $|c_n|^2$ skal jeg altså bare finde
\begin{equation*}
 c_0 = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_0'(x) \psi_0(x) \,\di x 
     = \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{2m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega}{\hbar} x^2} 
             \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4}  e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^2} \,\di x , 
\end{equation*}
hvor jeg har indsat udtrykket for den $0$'te node for de to tilstande (før med frekvensen $\omega$ og efter med frekvensen $2\omega$) fra formel [2.59] i \citetalias{griffiths}, hvorfor jeg videre får at
\begin{equation*}
 c_0 = 2^{1/4} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{m\omega}{\hbar} x^2} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^2} \,\di x 
     = 2^{1/4} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{3 m\omega}{2 \hbar} x^2} \,\di x . 
\end{equation*}
Integralet her kan forkortes til kun at integrere over det halve interval, da integranten er en lige funktion, hvorfor
\begin{equation*}
 c_0 = 2^{1/4} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} 2 \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{3 m\omega}{2 \hbar} x^2} \,\di x , 
\end{equation*}
hvilket jeg har løst vha. formel 18.72 i \citetalias{schaums},
\begin{equation*}
 c_0 = 2^{1/4} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} 2 \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2\pi\hbar}{3m\omega}} 
     = 2^{1/4} \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \sqrt{\frac{2\pi\hbar}{3m\omega}} 
     = 2^{1/4} \sqrt{\frac{2}{3}} ,
\end{equation*}
hvorfor sandsynligheden for at måle energien $E_0'=\hbar \omega$ er
\begin{equation*}
 P_0 = |c_0|^2 = \sqrt{2} \frac{2}{3} \approx 0.9428 .
\end{equation*}






\bibliography{bibliography}


\label{lastpage}
\end{document}

