\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}                                       % Dokumenttype
\usepackage[latin1]{inputenc}                                                     % Inputtype (platformafhængig)
\usepackage[danish]{babel}                                                        % Ordombrydningssprog
\usepackage[T1]{fontenc}                                                          % Fonts der kan bruges i dokumentet
\hyphenation{}                                                                    % Orddelingsregler

% MATEMATIK OG GRAFIK ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\usepackage{amsmath,amssymb}                                                      % Matematisk pakke
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}                                               % PDF med farvet grafik
\usepackage[pdftex]{graphicx}                                                     % PDF med grafik
\usepackage{maplestd2e}                                                           % Til at kunne implementere Maple-kode
\usepackage{braket}                                                               % Til at kunne lave | i variabel størrelse (\middle|)
\renewcommand{\theequation}{\arabic{subsection}.\arabic{equation}}                % Gendefiner kommandoen der laver equation numre
\usepackage{color}                                                                % Til at kunne lave farvet output

% LAYOUT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\usepackage{fancyhdr}                                                             % Til sidehoved og sidefod
\pagestyle{fancy}                                                                 % Layout af sidehoved og sidefod
   \fancyhead{}                                                                         % Renser alle head-felter
   \fancyhead[L]{\ECFTallPaul Lineær Algebra ugeopgave 5}                               % Udskriver i venstre side øverst
   \fancyhead[R]{\ECFTallPaul Opgave \thesubsection}                                    % Udskriver i højre side øverst
   \headheight 14.5pt                                                                   % Højden af headerfeltet
   \fancyfoot{}                                                                         % Renser alle foot-felter
   \fancyfoot[C]{\ECFTallPaul \rule{40pt}{0.2pt} \thepage{} \rule{40pt}{0.2pt}}         % Udskriver i midten nederst
   \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt}                                                 % Tykkelse på øverste linie
   \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}                                                 % Tykkelse på nederste linie
\usepackage{enumerate}                                                            % Til at kunne lave nummererede items
\usepackage{subfigure}                                                            % Til at kunne lave figurer side om side
\usepackage{emerald}                                                              % Skrifttyper speficik for forsiden til afleveringen
\usepackage{pifont}                                                               % Til at kunne typesætte tal med ring om
\usepackage{yhmath}

% NYE KOMMANDOER ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
%\newcommand{\span}[1]{\text{span}{\left( {#1} \right)}}   VIRKER IKKE AF EN ELLER ANDEN GRUND...
%\newcommand{\henvisn}[1]{{(\itshape{#1})}}
\newcommand{\henvisn}[1]{\footnote{\itshape{#1}}}
%\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}


% START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\begin{document}                                                                  % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                                                                 % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{forside.tex}                                                               % Input af forsiden, der ligger i forside.tex

% START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\newpage                                                                          % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                                                                 % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                                                              % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem



\section*{Lin.Alg. Ugeopgave 5} \setcounter{section}{5}                           % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)
\subsection{Lineær afbilding}
Jeg er givet de fire vektorer
\begin{equation}
 \vec{v}_1 = \left[\begin{array}{r} 1\\1\\0\\0   \end{array}\right] \quad
 \vec{v}_2 = \left[\begin{array}{r} 0\\0\\2\\0   \end{array}\right] \quad
 \vec{v}_3 = \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0\\1   \end{array}\right] \quad
 \vec{v}_4 = \left[\begin{array}{r} 1\\-1\\0\\0  \end{array}\right]
 \label{5.1:vektorer}
\end{equation}
i $\mathbb{R}^4$, og har derudover fået defineret funktionen $T:\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^4$ ved
\begin{equation}
 T(\vec{x}) = \left\langle \vec{x},\vec{v}_1 \right\rangle \vec{v}_2
            + \left\langle \vec{x},\vec{v}_2 \right\rangle \vec{v}_3
            + \left\langle \vec{x},\vec{v}_3 \right\rangle \vec{v}_4   \text{,}
 \label{5.1:ligning}
\end{equation}
hvor udtrykket $\left\langle \vec{p}, \vec{q} \right\rangle$ med $\vec{p}, \vec{q} \in \mathbb{R}^4$ er det sædvanlige skalarprodukt givet som
\begin{equation}
 \left\langle \vec{p}, \vec{q} \right\rangle = p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3+p_4q_4   \text{,}
 \label{5.2:skalarprodukt}
\end{equation}
hvor $\vec{p}$ og $\vec{q}$ og er givet ved udtrykkene
\begin{equation*}
 \vec{p} = \left[\begin{array}{r} p_1\\p_2\\p_3\\p_4  \end{array}\right] \qquad
 \vec{q} = \left[\begin{array}{r} q_1\\q_2\\q_3\\q_4  \end{array}\right]
\end{equation*}
Afbildingen $T$ i \eqref{5.1:ligning} skal jeg nu arbejde videre med i de tre følgende delopgaver a, b og c:

\subsubsection{Delopgave a}
Jeg skal nu redegøre for at $T$ givet i \eqref{5.1:ligning} er lineær for derefter at bestemme den matrix $A$ der beskriver $T$ med hensyn til basen $E=\left[ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4 \right]$. 

For at en afbilding $L : U \longrightarrow V$ er lineær skal den opfylde sammenhængen
\begin{equation}
 L(\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}) = \alpha L(\vec{x}) + \beta L(\vec{y})   \text{.}
 \label{5.1:lineaer}
\end{equation}
Jeg tager altså to vektorer $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^4$ og to skalarer $a,b \in \mathbb{R}$ og viser at der er sammenhængen
\begin{equation*}
 T(a \vec{x} + b \vec{y}) = a T(\vec{x}) + b T(\vec{y})   \text{.}
\end{equation*}
Jeg starter med at udskrive med mit udtryk givet i \eqref{5.1:ligning}
\begin{equation*}
 T(a \vec{x} + b \vec{y}) = \left\langle (a \vec{x} + b \vec{y}),\vec{v}_1 \right\rangle \vec{v}_2
                          + \left\langle (a \vec{x} + b \vec{y}),\vec{v}_2 \right\rangle \vec{v}_3
                          + \left\langle (a \vec{x} + b \vec{y}),\vec{v}_3 \right\rangle \vec{v}_4   \text{,}
\end{equation*}
som kan udskrives ved at udskrive skalarprodukterne til formen i \eqref{5.2:skalarprodukt}, hvor jeg benævner vektoren $\vec{v}_j$'s komponenter som $(v_{j1},v_{j2},v_{j3},v_{j4})^T$:
\begin{align}
 & T(a \vec{x} + b \vec{y}) \nonumber \\
           &= \left[(ax_1+by_1)v_{11}+(ax_2+by_2)v_{12}+(ax_3+by_3)v_{13}+(ax_4+by_4)v_{14}\right] \vec{v}_2 \nonumber \\
           &\quad+ \left[(ax_1+by_1)v_{21}+(ax_2+by_2)v_{22}+(ax_3+by_3)v_{23}+(ax_4+by_4)v_{24}\right] \vec{v}_3 \nonumber \\
           &\quad+ \left[(ax_1+by_1)v_{31}+(ax_2+by_2)v_{32}+(ax_3+by_3)v_{33}+(ax_4+by_4)v_{34}\right] \vec{v}_4 \nonumber \\
           &= (ax_1v_{11}+by_1v_{11} + ax_2v_{12}+by_2v_{12} + ax_3v_{13}+by_3v_{13} + ax_4v_{14}+by_4v_{14}) \vec{v}_2 \nonumber \\
           &\quad+ (ax_1v_{21}+by_1v_{21} + ax_2v_{22}+by_2v_{22} + ax_3v_{23}+by_3v_{23} + ax_4v_{24}+by_4v_{24}) \vec{v}_3 \nonumber \\
           &\quad+ (ax_1v_{31}+by_1v_{31} + ax_2v_{32}+by_2v_{32} + ax_3v_{33}+by_3v_{33} + ax_4v_{34}+by_4v_{34}) \vec{v}_4 \nonumber \\
           &= \left(\left\langle a\vec{x},\vec{v}_1\right\rangle +\left\langle b\vec{y},\vec{v}_1\right\rangle\right)\vec{v}_2
            + \left(\left\langle a\vec{x},\vec{v}_2\right\rangle +\left\langle b\vec{y},\vec{v}_2\right\rangle\right)\vec{v}_3
            + \left(\left\langle a\vec{x},\vec{v}_3\right\rangle +\left\langle b\vec{y},\vec{v}_3\right\rangle\right)\vec{v}_4 \nonumber \\
           &= \left(\left\langle a\vec{x},\vec{v}_1\right\rangle \vec{v}_2
            +       \left\langle a\vec{x},\vec{v}_2\right\rangle \vec{v}_3
            +       \left\langle a\vec{x},\vec{v}_3\right\rangle \vec{v}_4\right) \nonumber \\
           &\quad+ \left(\left\langle b\vec{y},\vec{v}_1\right\rangle \vec{v}_2
            +       \left\langle b\vec{y},\vec{v}_2\right\rangle \vec{v}_3
            +       \left\langle b\vec{y},\vec{v}_3\right\rangle \vec{v}_4\right)    \text{,}  \label{5.1:udtryktilfortsaettelse}
\end{align}
men eftersom der for skalarproduktet for to vektorer $\vec{p},\vec{q} \in \mathbb{R}^4$ og en skalar $\lambda \in \mathbb{R}$ gælder at\henvisn{Ifølge definitionen på det indre produkt, SL side 245.} 
\begin{equation*}
 \left\langle \lambda \vec{p}, \vec{q}\right\rangle = \lambda p_1 q_1 + \lambda p_2 q_2 + \lambda p_3 q_3 + \lambda p_4 q_4 
                                                   = \lambda \left\langle \vec{p}, \vec{q}\right\rangle
\end{equation*}
får jeg at udtrykket i \eqref{5.1:udtryktilfortsaettelse} ender op med at være
\begin{align}
 T(a \vec{x} + b \vec{y}) &= \left(a\left\langle \vec{x},\vec{v}_1\right\rangle \vec{v}_2
                           +       a\left\langle \vec{x},\vec{v}_2\right\rangle \vec{v}_3
                           +       a\left\langle \vec{x},\vec{v}_3\right\rangle \vec{v}_4\right) \nonumber \\
                          &\quad+ \left(b\left\langle \vec{y},\vec{v}_1\right\rangle \vec{v}_2
                           +       b\left\langle \vec{y},\vec{v}_2\right\rangle \vec{v}_3
                           +       b\left\langle \vec{y},\vec{v}_3\right\rangle \vec{v}_4\right) \nonumber \\
                          &= a\left(\left\langle \vec{x},\vec{v}_1\right\rangle \vec{v}_2
                           +       \left\langle \vec{x},\vec{v}_2\right\rangle \vec{v}_3
                           +       \left\langle \vec{x},\vec{v}_3\right\rangle \vec{v}_4\right) \nonumber \\
                          &\quad+ b\left(\left\langle \vec{y},\vec{v}_1\right\rangle \vec{v}_2
                           +       \left\langle \vec{y},\vec{v}_2\right\rangle \vec{v}_3
                           +       \left\langle \vec{y},\vec{v}_3\right\rangle \vec{v}_4\right) \nonumber \\
                          &= a T(\vec{x}) + b T(\vec{y}) \text{,} \label{5.2:linearbevist}
\end{align}
og eftersom udtrykket i \eqref{5.2:linearbevist} var min indikator for at en afbilding er lineær ifølge \eqref{5.1:lineaer}, er $T$ altså nu vist til at være lineær. 
\\ \\
Jeg skal nu finde matricen $A$ der beskriver $T$ med hensyn til basen $E$ givet ved vektorerne fra \eqref{5.1:vektorer} som
\begin{equation}
 E = \left[ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4 \right] = 
        \left[ \left[\begin{array}{r} 1\\1\\0\\0   \end{array}\right] ,  
               \left[\begin{array}{r} 0\\0\\2\\0   \end{array}\right] ,  
               \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0\\1   \end{array}\right] ,  
               \left[\begin{array}{r} 1\\-1\\0\\0  \end{array}\right]   \right]
 \label{5.2:baseE}
\end{equation}
For at gøre dette skal jeg tage $T$ af de fire vektorer i $E$. Dette bliver altså
\begin{align}
 T(\vec{v}_1)&= \left\langle \vec{v}_1,\vec{v}_1 \right\rangle \vec{v}_2
              + \left\langle \vec{v}_1,\vec{v}_2 \right\rangle \vec{v}_3
              + \left\langle \vec{v}_1,\vec{v}_3 \right\rangle \vec{v}_4       \nonumber  \\
             &= (1+1)\vec{v}_2 + 0 \vec{v}_3 + 0 \vec{v}_4 = 2 \vec{v}_2       \label{5.2:indsatv1} \\
 T(\vec{v}_2)&= \left\langle \vec{v}_2,\vec{v}_1 \right\rangle \vec{v}_2
              + \left\langle \vec{v}_2,\vec{v}_2 \right\rangle \vec{v}_3
              + \left\langle \vec{v}_2,\vec{v}_3 \right\rangle \vec{v}_4       \nonumber  \\
             &= 0 \vec{v}_2 + (2 \cdot 2)\vec{v}_3 + 0\vec{v}_4 = 4\vec{v}_3   \label{5.2:indsatv2} \\
 T(\vec{v}_3)&= \left\langle \vec{v}_3,\vec{v}_1 \right\rangle \vec{v}_2
              + \left\langle \vec{v}_3,\vec{v}_2 \right\rangle \vec{v}_3
              + \left\langle \vec{v}_3,\vec{v}_3 \right\rangle \vec{v}_4       \nonumber  \\
             &= 0 \vec{v}_2 + 0 \vec{v}_3 + 1 \vec{v}_4 = 1 \vec{v}_4          \label{5.2:indsatv3} \\
 T(\vec{v}_3)&= \left\langle \vec{v}_3,\vec{v}_1 \right\rangle \vec{v}_2
              + \left\langle \vec{v}_3,\vec{v}_2 \right\rangle \vec{v}_3
              + \left\langle \vec{v}_3,\vec{v}_3 \right\rangle \vec{v}_4       \nonumber  \\ 
             &= 0 \vec{v}_2 + 0 \vec{v}_3 + 0 \vec{v}_4 = 0                    \label{5.2:indsatv4}
\end{align}
Ud fra disse kan jeg nu aflæse at matricen $A$ er givet ved
\begin{equation}
 A = \left[\begin{array}{rrrr} 0&0&0&0\\2&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&1&0  \end{array}\right]
 \label{5.2:matrixA}
\end{equation}
med første række som værende antallet af $\vec{v}_1$, anden række med antallet af $\vec{v}_2$, tredje med antallet af $\vec{v}_3$ og fjerde række med antallet af $\vec{v}_4$, alle i de fire udtryk i \eqref{5.2:indsatv1}, \eqref{5.2:indsatv2}, \eqref{5.2:indsatv3} og \eqref{5.2:indsatv4}. 



\subsubsection{Delopgave b}
Jeg skal nu ved hjælp af Maple udregne matricerne $A^2$, $A^3$, $A^4$ og disses rang. For at gøre dette starter jeg med at definere matricen for derefter bare at tage potenserne ved hjælp af en sekvens:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/5.1b1.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Jeg kan se rangen for matricerne ved at se på hvor mange ledende variable der er i matricerne\henvisn{Da rangen ifølge definitionen i SL nederst på side 162 er $\text{dim}(\text{rækkerum}(A))$ og denne per definition har dimensionen som antal ledende variable.}, disse er altså:
\begin{equation*}
 \text{rang}\left(A\right) = 3,  \quad 
 \text{rang}\left(A^2\right) = 2,  \quad 
 \text{rang}\left(A^3\right) = 1,  \quad 
 \text{rang}\left(A^4\right) = 0  \quad 
\end{equation*}
Jeg kan også gøre dette ved hjælp af Maple ved at bruge kommandoen {\verb+Rank+} som følger:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/5.1b2.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Og jeg får altså den samme rang med Maple som jeg gør i hånden, hvorfor jeg må se det som eftervist og fundet korrekt. 


\subsubsection{Delopgave c}
Til sidst skal jeg nu bestemme dimensionen af billedet af $T^{\circ n}$ for alle $n \in \mathbb{N}$, hvor 
\begin{equation*}
 T^{\circ 1} = T \text{,} \qquad T^{\circ 2} = T \circ T \text{,} \qquad T^{\circ 3} = T \circ T \circ T  \text{.}
\end{equation*}
Jeg ved at der for en sammensat funktion af funktionerne $L:V \longrightarrow W$ og $K:W \longrightarrow U$ med de beskrivende matricer henholdsvis $B$ og $C$ gælder at
\begin{equation*}
 K(L(\vec{x})) = K \circ L (\vec{x}) = C B \vec{x}  \qquad  \forall \vec{x} \in V  \text{.}
\end{equation*}
Jeg har i delopgave b set at $A^n$ hvor $n=4$ er lig med nulmatricen, og dette vil jeg lige argumentere for passer for alle $n \geq 4$. Når jeg tager en matrice i en potens vil jeg følge sammenhængen
\begin{multline}
 A=A, \quad A^2 = A\cdot A,  \quad A^3 = A\cdot A\cdot A,\quad \cdots, \quad  \\
                  A^{n-1} = \underbrace{A\cdot A\cdot \cdots \cdot A}_{n-1 \text{ gange}}, \quad
                  A^n = \underbrace{A\cdot A\cdot \cdots \cdot A}_{n \text{ gange}}  \text{,}
 \label{5.1:potensafmatrix}
\end{multline}
og jeg kan altså se at når $A^4$ er nulmatricen så vil udtrykket
\begin{equation*}
 A^{n+1} = A^n A
\end{equation*}
blive nul, da jeg kan sætte $n=4$, hvilket jeg ved er sandt. På denne måde vil matricer $A^n$ for alle $n \geq 4$ være nulmatricen.

Dette skal jeg nu bruge, da jeg skal bestemme dimensionen af billedet $T^{\circ n}$ for alle $n \in \mathbb{N}$, da der gælder at 
\begin{equation*}
 \text{rang}(A) = \text{dim}{(\text{rækkerum}(A))} = \# \text{ledende variable}   \text{,}
\end{equation*}
og eftersom antallet af ledende variable giver hvor mange lineært uafhængige vektorer mit billedrum udspændes af, er antallet af ledende variable altså også dimensionen af dette, hvorfor {\emph{rangen af A er det samme som dimensionen af billedrummet}} til $T$. Af dette kan jeg se at dimensionen af billedrummene altså er givet ved
\begin{align*}
 & \text{dim}(T^{\circ 1})=\text{rang}\left(A\right) = 3, \\
 & \text{dim}(T^{\circ 2})=\text{rang}\left(A^2\right) = 2,  \\
 & \text{dim}(T^{\circ 3})=\text{rang}\left(A^3\right) = 1, \\ 
 & \text{dim}(T^{\circ 4})=\text{rang}\left(A^4\right) = 0   \text{,}
\end{align*}
og at
\begin{equation*}
 \text{dim}(T^{\circ n}) = \text{rang}\left(A^n\right) = 0  \qquad  n \geq 4 \text{.}
\end{equation*}


\subsubsection{Konklusion}
Jeg har først og fremmest eftervist at min afbilding $T$ givet i \eqref{5.1:ligning} er lineær, for derefter at have fundet matricen $A$, givet i \eqref{5.2:matrixA}, der beskriver $T$ med hensyn til basen $E$, givet i \eqref{5.2:baseE}. Derefter har jeg ved hjælp af Maple beregnet 2.-4. potens af matricen $A$ og fundet rangen af disse. Til sidst har jeg fundet dimensionen af billedrummet til de lineære afbildinger $T^{\circ n}$ for alle $n \in \mathbb{N}$. 




\clearpage
\subsection{Vektorrummet $C^2(\mathbb{R})$ og differentialligninger}
Mængden $C^k(\mathbb{R})$ er mængden af reelle $k$ gange kontinuert differentiable funktioner, og denne mængde er et vektorrum hvis sum og multiplikation defineres som
\begin{equation*}
 (f+g)(t) = f(t) + g(t) \text{,} \qquad (\lambda f)(t) = \lambda f(t)  \text{,}
\end{equation*}
for $f,g \in C^k(\mathbb{R})$ og $\lambda \in \mathbb{R}$. Jeg skal nu se på afbildingen $L : C^2(\mathbb{R}) \longrightarrow C(\mathbb{R})$ givet ved udtrykket
\begin{equation}
 L(u)(t) = u''(t) - 2u'(t) + 5u(t) \text{.}
 \label{5.2:ligningen}
\end{equation}
Dette udtryk skal jeg nu arbejde videre med i de to delopgaver a og b.

\subsubsection{Delopgave a}
Først skal jeg vise at $L$ er en lineær afbilding. Definitionen på en lineær afbilding $\tilde{L}:V \longrightarrow W$ er 
\begin{equation}
 \tilde{L}(\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}) = \alpha \tilde{L}(\vec{x}) + \beta \tilde{L}(\vec{y})   \text{,}
 \label{5.2:lineaer}
\end{equation}
for $\vec{x},\vec{y} \in V$ og $\alpha , \beta \in \mathbb{R}$, så for at vise at min afbilding $L$ er lineær skal jeg altså se på udtrykket
\begin{equation*}
 L(af + bg)(t) = (af+bg)''(t) - 2(af+bg)'(t) + 5(af+bg)(t) \text{,}
\end{equation*}
hvor $f(t),g(t) \in C^2(\mathbb{R})$ og $a,b \in \mathbb{R}$. Jeg ser allerede ret nemt her at denne kan omskrives til
\begin{multline}
 L(af + bg)(t) = af''(t) + bg''(t) - 2af'(t) \\
                 + 2bg'(t) + 5af(t)+5bg(t) \text{,}
 \label{5.2:tilvidereudregn}
\end{multline}
da en konstant kan trækkes ud når man differentierer, og da der gælder at to funktioner lagt sammen differentieret er det samme som de to differentierede funktioner lagt sammen. Jeg har altså brugt de to regler
\begin{align*}
 \frac{d}{d x} (\alpha f) &= \alpha \frac{d}{d x} f \\
 \frac{d}{d x} (f+g) &= \frac{d}{d x} f + \frac{d}{d x} g  \text{.}
\end{align*}
Jeg kan lige omskrive \eqref{5.2:tilvidereudregn} lidt mere, for at se hvordan det faktisk ender ud:
\begin{align*}
 L(af + bg)(t) &= \left(af''(t) - 2af'(t)  + 5af(t)\right) + \left(bg''(t) - 2bg'(t) + 5bg(t)\right) \\
               &= \left[a \left(f''(t) - 2f'(t)  + 5f(t)\right)\right] + \left[b \left(g''(t) - 2g'(t) + 5g(t)\right)\right] \\
               &= a L(f)(t) + b L(g)(t)  \text{,}
\end{align*}
altså har jeg eftervist at afbildingen i \eqref{5.2:ligningen} er lineær ifølge definitionen i \eqref{5.2:lineaer}. 


\subsubsection{Delopgave b}
Jeg skal nu finde en reel basis for $\text{ker}(L)$. Dette gør jeg ved at se hvornår udtrykket
\begin{equation}
 0 = u''(t) - 2u'(t) + 5u(t)
 \label{5.2:differentialligning}
\end{equation}
er sandt. Dette er en homogen andenordens differentialligning på formen $y'' + py' + qy = 0$, og denne har karakterligningen $r^2 + pr + q = 0$, som jeg skal finde løsningerne til for at finde løsningerne til min differentialligning i \eqref{5.2:differentialligning}. Min differentialligning må have $p=-2$ og $q=5$, så dennes karakterligning er givet ved
\begin{equation}
 r^2 -2r+5 = 0 \text{,}
 \label{5.2:karakterligning}
\end{equation}
som har de komplekse løsninger
\begin{align*}
 r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \frac{2 \pm i \sqrt{16}}{2} = 1 \pm 2 i   \text{.}
\end{align*}
Løsningen til differentialligningen i \eqref{5.2:differentialligning} er så givet ved udtrykket $y = e^{a x}\left( C \cos{bx} + D \sin{bx} \right)$, hvor $a$ og $b$ er værdierne for de to dele af løsningen til karakterligningen i \eqref{5.2:karakterligning} på formen $a \pm bi$, og $C,D \in \mathbb{R}$, altså
\begin{equation*}
 u(t) = e^{t} \left( C \cos{2t} + D \sin{2t} \right) \text{,}
\end{equation*}
hvorfor $\text{ker}(L)$ er givet ved
\begin{equation*}
 \text{span} \left(e^{t}\cos{2t} , e^{t}\sin{2t}\right) \text{,}
\end{equation*}
og basen til denne altså er de to funktioner $e^{t}\cos{2t}$ og $e^{t}\sin{2t}$. 

\subsubsection{Konklusion}
Jeg har eftervist at afbildingen $L$ er lineær ved at gå ud fra definitionen på en lineær funktion (SL Definitionen på side 175 nederst) for derefter at bruge viden om andenordens homogene differentialligninger fra MatIntro til at finde et udtryk for basen til $\text{ker}(L)$. 


\end{document}


