\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}                                       % Dokumenttype
\usepackage[latin1]{inputenc}                                                     % Inputtype (platformafhængig)
\usepackage[danish]{babel}                                                        % Ordombrydningssprog
\usepackage[T1]{fontenc}                                                          % Fonts der kan bruges i dokumentet
\hyphenation{}                                                                    % Orddelingsregler

% MATEMATIK OG GRAFIK ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\usepackage{amsmath,amssymb}                                                      % Matematisk pakke
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}                                               % PDF med farvet grafik
\usepackage[pdftex]{graphicx}                                                     % PDF med grafik
\usepackage{maplestd2e}                                                           % Til at kunne implementere Maple-kode
\usepackage{braket}                                                               % Til at kunne lave | i variabel størrelse (\middle|)
\renewcommand{\theequation}{\arabic{subsection}.\arabic{equation}}                % Gendefiner kommandoen der laver equation numre
\usepackage{color}                                                                % Til at kunne lave farvet output

% LAYOUT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\usepackage{fancyhdr}                                                             % Til sidehoved og sidefod
\pagestyle{fancy}                                                                 % Layout af sidehoved og sidefod
   \fancyhead{}                                                                         % Renser alle head-felter
   \fancyhead[L]{\ECFTallPaul Lineær Algebra ugeopgave 4}                               % Udskriver i venstre side øverst
   \fancyhead[R]{\ECFTallPaul Opgave \thesubsection}                                    % Udskriver i højre side øverst
   \headheight 14.5pt                                                                   % Højden af headerfeltet
   \fancyfoot{}                                                                         % Renser alle foot-felter
   \fancyfoot[C]{\ECFTallPaul \rule{40pt}{0.2pt} \thepage{} \rule{40pt}{0.2pt}}         % Udskriver i midten nederst
   \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt}                                                 % Tykkelse på øverste linie
   \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}                                                 % Tykkelse på nederste linie
\usepackage{enumerate}                                                            % Til at kunne lave nummererede items
\usepackage{subfigure}                                                            % Til at kunne lave figurer side om side
\usepackage{emerald}                                                              % Skrifttyper speficik for forsiden til afleveringen
\usepackage{pifont}                                                               % Til at kunne typesætte tal med ring om
\usepackage{yhmath}

% NYE KOMMANDOER ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
%\newcommand{\span}[1]{\text{span}{\left( {#1} \right)}}   VIRKER IKKE AF EN ELLER ANDEN GRUND...
%\newcommand{\henvisn}[1]{{(\itshape{#1})}}
\newcommand{\henvisn}[1]{\footnote{\itshape{#1}}}

% START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\begin{document}                                                                  % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                                                                 % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{forside.tex}                                                               % Input af forsiden, der ligger i forside.tex

% START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\newpage                                                                          % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                                                                 % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                                                              % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem



\section*{Lin.Alg. Ugeopgave 4} \setcounter{section}{4}                           % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)
\subsection{Basis for et vektorrum}
Jeg skal i denne opgave arbejde med de fire vektorer
\begin{equation}
 \left[ \begin{array}{r}  3\\  2\\  0\\  0\\  1\\ -1 \end{array} \right]  \text{,} 
 \left[ \begin{array}{r}  0\\  1\\  0\\  0\\  1\\  1 \end{array} \right]  \text{,} 
 \left[ \begin{array}{r} -2\\ -2\\ -2\\  2\\  0\\  0 \end{array} \right]  \text{,}
 \left[ \begin{array}{r}  3\\  0\\  3\\ -3\\ -3\\ -3 \end{array} \right]  \text{.}
 \label{4.1:vektorer}
\end{equation}
Jeg skal finde en basis for $\mathbb{R}^6$ hvori præcis tre af disse vektorer indgår, for derefter at bestemme koordinaterne for den tilbageværende vektor med hensyn til denne fundne basis. Det hele skal udføres med hjælp fra Maple.

\subsubsection{Basen}
For at finde basen, altså det minimale span-sæt der udspænder $\mathbb{R}^6$ ud fra vektorerne i \eqref{4.1:vektorer}, starter jeg med at sætte de fire vektorer sammen i en matrix, $A_1$, hvor vektorerne er søjlerne i matricen:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.1maple1.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Da jeg, for at kunne lave et vektorrum i 6 dimensioner, skal bruge 6 vektorer der er lineært uafhængige, bliver jeg nødt til at tilføje nogle flere vektorer. For at gøre dette mest overskueligt og være sikker på at jeg har så mange muligheder som muligt, tilføjer jeg bare identitetsmatricen efter min matrix $A_1$, hvorfor jeg får den samlede matrix $A_2$ som i det følgende. Her reducerer jeg også matricen til reduceret trappeform, hvorfra jeg kan se hvilke variable der er ledende:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.1maple2.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Jeg kan altså ved hjælp af kommandoen {\verb+ReducedRowEchelonForm+} se at der er ledende 1-taller i søjlerne 1, 2, 3, 5, 6 og 7. Disse søjler tager jeg som vektorer fra $A_2$, altså fra den originale matrix før reduceringen, og disse udgør min base:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.1maple3.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Det er altså de første tre vektorer givet i \eqref{4.1:vektorer} jeg bruger til at udtrykke basen for mit vektorrum $\mathbb{R}^6$.

\subsubsection{Koordinater}
Jeg skal nu finde koordinaterne for den fjerde af de givne vektorer. For at gøre dette opskriver jeg mine vektorer der danner basen sammen som søjlerne i en matrice $A_3$ og definerer samtidig min tilbageværende vektor som $X$:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.1maple4.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Og jeg kan nu finde den tilbageværende vektors koordinater i min base $A_3$ ved at løse ligningssystemet som følger, hvor jeg så finder den sidste søjle til at være koordinaterne for vektoren $X$ i min base:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.1maple5.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Hvilket gøres ved bare at omskrive matricen til reduceret trappeform ved hjælp af kommandoen:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.1maple6.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Og jeg ser altså koordinaterne som værende den sidste søjle i matricen her ovenfor. 

\subsubsection{Konklusion}
Jeg har fundet en basis for $\mathbb{R}^6$ indeholdende præcis tre af de givne vektorer i \eqref{4.1:vektorer} til at være givet som
\begin{equation*}
 \mathbb{R}^6 = 
 \text{span}{\left({\left[ \begin{array}{r}  3\\2\\0\\0\\1\\-1   \end{array} \right] , 
                    \left[ \begin{array}{r}  0\\1\\0\\0\\1\\1    \end{array} \right] , 
                    \left[ \begin{array}{r}  -2\\-2\\-2\\2\\0\\0 \end{array} \right] , 
                    \left[ \begin{array}{r}  1\\0\\0\\0\\0\\0 \end{array} \right] , 
                    \left[ \begin{array}{r}  0\\1\\0\\0\\0\\0 \end{array} \right] , 
                    \left[ \begin{array}{r}  0\\0\\1\\0\\0\\0 \end{array} \right] } \right)}
\end{equation*}
hvor de tre første altså er blandt de fire jeg fik opgivet. Derudover har jeg fundet at den sidste vektor af de fire har koordinaterne
\begin{equation*}
 (0,-3,- \tfrac{3}{2},0,0,0)^T
\end{equation*}
med hensyn til min fundne base. 



\clearpage
\subsection{Rækkerum, søjlerum og nulrum}
Jeg er i denne opgave givet matricen
\begin{equation}
 A = \left[ \begin{array}{rrrrr} 1&  2&  1&  3&  4\\
                                 0&  1&  2&  1&  0\\
                                 2&  3& -1&  4&  6\\
                                 0&  0&  1&  1&  2   \end{array} \right]
 \label{4.2:matrix}
\end{equation}
som jeg skal bestemme rækkerum, søjlerum og nulrum for. Derefter skal jeg finde de samme med Maple og sammenligne med de resultater jeg har fundet i hånden. 

\subsubsection{Rækkerum}
For at finde rækkerummet for en matrix skal jeg reducere matricen med Gauss-elimination, for at se hvilke rækker der indeholder ledende variable. Disse rækker (i den reducerede matrix) udgører så basen for rækkerummet til matricen. Jeg omskriver altså $A$ med Gauss-elimination{\footnote{For notationen i det følgende, se appendix A.}}:
\begin{align}
 \begin{array}{r}
   \text{\ding{194}} - 2 \times \text{\ding{192}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{rrrrr}
       1&   2&  1&   3&  4\\
       0&   1&  2&   1&  0\\
       0&  -1& -3&  -2& -2\\
       0&   0&  1&   1&  2
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} \nonumber \\
 \begin{array}{r}
   \text{\ding{194}} + \text{\ding{193}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{rrrrr}
       1&   2&  1&   3&  4\\
       0&   1&  2&   1&  0\\
       0&   0& -1&  -1& -2\\
       0&   0&  1&   1&  2
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array}  \nonumber \\
 \begin{array}{r}
   \text{\ding{195}} + \text{\ding{194}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{rrrrr}
       1&   2&  1&   3&  4\\
       0&   1&  2&   1&  0\\
       0&   0& -1&  -1& -2\\
       0&   0&  0&   0&  0
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} \label{4.2:trappematrix}
\end{align}
Jeg ser altså at de tre første rækker har ledende variable, hvorfor mit rækkerum har basen
\begin{equation}
 (1,2,1,3,4) \quad , \quad (0,1,2,1,0) \quad , \quad (0,0,-1,-1,-2)   \text{.}
 \label{4.2:haandbase}
\end{equation}

For at finde rækkerummet ved hjælp af Maple skal man bruge kommandoen {\verb+RowSpace+}. Jeg har i Maple defineret min matrice som værende $A$, og jeg finder altså rækkerummet ved følgende: 

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.2maple1.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Dette er ikke umiddelbart den samme base, enddog vektorrum, som jeg fandt i \eqref{4.2:haandbase}, men jeg vil nu gerne vise at jeg selv kunne have fundet helt samme base som Maple. Hvis jeg reducerer matricen i \eqref{4.2:trappematrix} endnu mere får jeg den på reduceret trappeform, fra hvilken jeg også kan se på rækker med ledende variable:
\begin{align}
 \begin{array}{r}
   -1 \times \text{\ding{194}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{rrrrr}
       1&   2&  1&   3&  4\\
       0&   1&  2&   1&  0\\
       0&   0&  1&   1&  2\\
       0&   0&  0&   0&  0
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} \nonumber \\
 \begin{array}{r}
   \text{\ding{193}} -2 \times \text{\ding{194}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{rrrrr}
       1&   2&  1&   3&  4\\
       0&   1&  0&  -1& -4\\
       0&   0&  1&   1&  2\\
       0&   0&  0&   0&  0
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} \nonumber \\
 \begin{array}{r}
   \text{\ding{192}} - \text{\ding{194}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{rrrrr}
       1&   2&  0&   2&  2\\
       0&   1&  0&  -1& -4\\
       0&   0&  1&   1&  2\\
       0&   0&  0&   0&  0
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} \nonumber \\
 \begin{array}{r}
   \text{\ding{192}} - 2 \times \text{\ding{193}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{rrrrr}
       1&   0&  0&   4& 10\\
       0&   1&  0&  -1& -4\\
       0&   0&  1&   1&  2\\
       0&   0&  0&   0&  0
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} \label{4.2:reducerettrappe}
\end{align}
Og her i \eqref{4.2:reducerettrappe} ser jeg altså at de tre første rækker indeholder ledende variable og faktisk \emph{er} givet ved de tre rækker som Maple fandt som værende basen for rækkerummet. 



\subsubsection{Søjlerum}
For at finde søjlerummet for en matrix skal jeg gøre lidt det samme som for at finde rækkerummet, dog skal jeg nu bare tage søjlerne med de ledende variable i stedet for rækkerne med disse, og det skal være søjlerne taget fra den originale matrix i stedet for fra den reducerede. Eftersom jeg allerede har fundet matricen $A$ på trappeform i \eqref{4.2:trappematrix} kan jeg se at det er søjlerne 1, 2 og 3 der indeholder de ledende variable. Disse søjler taget fra $A$ i \eqref{4.2:matrix} og skrevet op som vektorer er
\begin{equation}
 \left[ \begin{array}{r}  1\\0\\2 \\0 \end{array} \right],
 \left[ \begin{array}{r}  2\\1\\3 \\0 \end{array} \right],
 \left[ \begin{array}{r}  1\\2\\-1\\1 \end{array} \right]
 \label{4.2:soejlebasis}
\end{equation}
og dette er altså basen for matricens søjlerum. 

Med Maple finder jeg søjlerummet med kommandoen {\verb+ColumnSpace+}, og med hvilken jeg får:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.2maple2.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Og jeg ser altså at mit søjlerum fundet med Maple ikke umiddelbart er magen til det søjlerum jeg har fundet i hånden. Jeg kan dog finde ud af om de svarer til det samme vektorrum ved at se på om vektorernes relationer mellem hinanden i de to baser er de samme de to baser imellem. Hvis jeg kalder de tre vektorer jeg har fundet i hånden for $\vec{h}_1$, $\vec{h}_2$ og $\vec{h}_3$ (givet i \eqref{4.2:soejlebasis}) og de tre vektorer fundet af Maple (ovenfor) for $\vec{m}_1$, $\vec{m}_2$ og $\vec{m}_3$ kan jeg se at følgende skal gælde:
\begin{align*}
 \vec{0} &= \alpha_1 \vec{h}_1 + \beta_1 \vec{h}_2 + \gamma_1 \vec{h}_3 \\
 \vec{0} &= \alpha_2 \vec{m}_1 + \beta_2 \vec{m}_2 + \gamma_2 \vec{m}_3  \text{,}
\end{align*}
hvor $\alpha$, $\beta$ og $\gamma$ altså bør de samme for de to ligninger. For at finde ud af om dette passer kan jeg se på de to baser som matricer, og altså se om disse er rækkeækvivalente -- og derved har samme løsninger for $\alpha$, $\beta$ og $\gamma$. Den første af de to matricer, fundet med hånden (jeg vil kalde denne for $H$), er givet ved
\begin{equation}
 H = \left[\begin{array}{ccc}  \vec{h}_1 & \vec{h}_2 & \vec{h}_3  \end{array}\right]
   = \left[\begin{array}{rrr}  1 & 2 & 1 \\
                               0 & 1 & 2 \\
                               2 & 3 & -1 \\
                               0 & 0 & 1  \end{array}\right]
 \label{4.2:H}
\end{equation}
mens den anden, fundet med Maple  (jeg vil kalde denne for $M$), er givet ved
\begin{equation}
 M = \left[\begin{array}{ccc}  \vec{m}_1 & \vec{m}_2 & \vec{m}_3  \end{array}\right]
   = \left[\begin{array}{rrr}  1 & 0 & 0 \\
                               0 & 1 & 0 \\
                               0 & 0 & 1 \\
                               2 & -1& -1  \end{array}\right]
 \label{4.2:M}
\end{equation}

Jeg kan nu skrive de to om til reducerede trappematricer, hvilket jeg vælger at gøre i Maple, for at spare plads. Jeg finder de reducerede matricer ved følgende:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.2maple4.tex}

\vspace{1pt}
\noindent Jeg ser altså at de to reducerede trappematricer for $H$ og $M$ er ens, hvorfor de to matricer er rækkeækvivalente, og der altså virkelig gælder at 
\begin{equation*}
 \alpha_1 = \alpha_2 \qquad \beta_1 = \beta_2 \qquad \gamma_1 = \gamma_2  \text{,}
\end{equation*}
da de to ligningssystemer må have samme løsninger for $\alpha$, $\beta$ og $\gamma$. Dette betyder at basen jeg fandt i hånden udspænder det samme rum som den base Maple fandt for mig som værende søjlerummet, altså
\begin{equation*}
 \text{span}\left({\vec{h}_1, \vec{h}_2, \vec{h}_3}\right) 
 = \text{span}\left({\vec{m}_1, \vec{m}_2, \vec{m}_3}\right) \text{,}
\end{equation*}
og jeg kan derfor nu gå videre til at finde nulrummet til $A$:


\subsubsection{Nulrum}
For at finde nulrummet for en matrix skal jeg simpelthen opskrive den fuldkomne løsning til ligningssystemet givet ved $A \vec{x} = \vec{0}$. Jeg har allerede i \eqref{4.2:reducerettrappe} fundet den reducerede trappematrix, hvorfor jeg er endt op med ligningssystemet som følger:
{\allowdisplaybreaks  \begin{align*}
 x_1 &= -4 x_4 - 10 x_5 \\
 x_2 &= x_4 + 4 x_5 \\
 x_3 &= - x_4 - 2 x_5 \\
 x_4 &= x_4 \\
 x_5 &= x_5 \text{,}
\end{align*}}%
hvor de fem $x$'er er indgange i $\vec{x}$. Løsningsmængden til ligningssystemet er altså givet ved følgende, når jeg siger $x_4 = \alpha$ og $x_5 = \beta$
\begin{equation}
 L = \left\{ \left( -4\alpha - 10\beta , \alpha + 4\beta , -\alpha - 2\beta , \alpha, \beta \right) \right\}  \text{.}
 \label{4.2:nulrumloesningsm}
\end{equation}
Jeg aflæser basisvektorerne i løsningsmængden i \eqref{4.2:nulrumloesningsm} ved først at sætte $\alpha$ til 1 og $\beta$ til 0, og derefter omvendt. Jeg får altså
\begin{equation}
 \left[ \begin{array}{r}  -4\\1\\-1\\1\\0  \end{array} \right] , 
 \left[ \begin{array}{r}  -10\\4\\-2\\0\\1  \end{array} \right]
 \label{4.2:nulrumvektorer}
\end{equation}

I Maple finder jeg nulrummet ved den simple kommando {\verb+NullSpace+}, med hvilken jeg altså får:

\vspace{3pt}
\input{mapleexports/4.2maple3.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Der tydeligt er de samme vektorer som jeg fandt i \eqref{4.2:nulrumvektorer}, bare i en anden rækkefølge, der ikke ændrer noget på det rum de to udspænder. 


\subsubsection{Konklusion}
Jeg har fundet baser for rækkerum, søjlerum og nulrum til matricen givet i \eqref{4.2:matrix}, både i hånden og med Maple. Rækkerummet fundet med basen givet i \eqref{4.2:haandbase} var nemt at se var det samme i Maple og i hånden, hvorimod søjlerummet var lidt sværere at genkende i Maples udregninger. Nulrummet gav det samme svar i hånden som i Maple. 



\clearpage %\appendix

 \renewcommand{\theequation}{A-\arabic{equation}}     % gendefiner kommandoen der laver equation numre
 \renewcommand{\thesubsection}{-}
 \setcounter{equation}{0}                             % reset tælleren til at nummerere equations
 \section*{Appendix A} \label{appendixa}

\subsection*{Notation ved Gauss-elimination}
Jeg vil igennem hele afleveringen bruge symbolerne \ding{192}, \ding{193}\ $\cdots$ \ding{200} som substitut for rækkerne i mine matricer (her henholdsvis 1., 2. $\cdots$ 9. række i min matrix) -- jeg beskriver altså mine udregninger med disse, og hver gang jeg laver et regnestykke med disse mener jeg at jeg gør dette for alle tal i rækken.

Som et eksempel kan jeg skrive
\begin{equation}
 \text{\ding{194}} - \tfrac{5}{4} \times \text{\ding{192}} \text{,}
 \label{app1}
\end{equation}
med hvilket der menes at jeg ganger igennem på begge sider af ligningen vist i række 1 og derefter trækker denne ligning fra ligningen i række 3. 

Med operationen i \eqref{app1} vil jeg nu lige vise et eksempel så der ingen tvivl er over hovedet. Hvis jeg nu har matricen
\begin{equation}
  \left[ 
    \begin{array}{c c c | c}
      4 & 6  & 3  & 0 \\
      0 & 1  & -3 & 2 \\
      5 & -4 & 1  & 7
    \end{array} 
  \right] \label{appendixA1eq1}
\end{equation}
kan jeg lave min operation, som jeg her viser i alle skridt på matricen i \eqref{appendixA1eq1}:
\begin{align*}
 \begin{array}{r}
   \text{\ding{194}} - \tfrac{5}{4} \times \text{\ding{192}} \text{:}
 \end{array} &
 \begin{array}{c}
   \left[ 
     \begin{array}{c c c | c}
       4                       & 6                        & 3                        & 0 \\
       0                       & 1                        & -3                       & 2 \\
       5-\tfrac{5}{4} \times 4 & -4-\tfrac{5}{4} \times 6 & 1-\tfrac{5}{4} \times 3  & 7-\tfrac{5}{4} \times 0
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} \\
 \begin{array}{r}
   =
 \end{array} &
 \begin{array}{c}   
   \left[ 
     \begin{array}{c c c | c}
       4 & 6               & 3               & 0 \\
       0 & 1               & -3              & 2 \\
       0 & -\tfrac{23}{2}  & -\tfrac{11}{4}  & 7
     \end{array} 
   \right] 
 \end{array} 
\end{align*}



\end{document}

