\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}                                       % Dokumenttype
\usepackage[latin1]{inputenc}                                                     % Inputtype (platformafhængig)
\usepackage[danish]{babel}                                                        % Ordombrydningssprog
\usepackage[T1]{fontenc}                                                          % Fonts der kan bruges i dokumentet
\hyphenation{lignings-system-et løs-ning-er in-kon-sistent}                       % Orddelingsregler
% MATEMATIK OG GRAFIK ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\usepackage{amsmath,amssymb}                                                      % Matematisk pakke
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}                                               % PDF med farvet grafik
\usepackage[pdftex]{graphicx}                                                     % PDF med grafik
\usepackage{maplestd2e}                                                           % Til at kunne implementere Maple-kode
\usepackage{braket}                                                               % Til at kunne lave | i variabel størrelse (\middle|)
\renewcommand{\theequation}{\arabic{subsection}.\arabic{equation}}                % Gendefiner kommandoen der laver equation numre
\usepackage{color}                                                                % Til at kunne lave farvet output
\usepackage{allrunes}                                                             % For at kunne lave runer
% LAYOUT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\usepackage{fancyhdr}                                                             % Til sidehoved og sidefod
\pagestyle{fancy}                                                                 % Layout af sidehoved og sidefod
   \fancyhead{}                                                                         % Renser alle head-felter
   \fancyhead[L]{\ECFTallPaul Lineær Algebra ugeopgave 2}                               % Udskriver i venstre side øverst
   \fancyhead[R]{\ECFTallPaul Opgave \thesubsection}                                    % Udskriver i højre side øverst
   \headheight 14.5pt                                                                   % Højden af headerfeltet
   \fancyfoot{}                                                                         % Renser alle foot-felter
   \fancyfoot[C]{\ECFTallPaul \rule{40pt}{0.2pt} \thepage{} \rule{40pt}{0.2pt}}         % Udskriver i midten nederst
   \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt}                                                 % Tykkelse på øverste linie
   \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}                                                 % Tykkelse på nederste linie
\usepackage{enumerate}                                                            % Til at kunne lave nummererede items
\usepackage{subfigure}                                                            % Til at kunne lave figurer side om side
\usepackage{emerald}                                                              % Skrifttyper speficik for forsiden til afleveringen
\usepackage{pifont}                                                               % Til at kunne typesætte tal med ring om
\include{appendix}
% START PÅ DOKUMENT MED FORSIDE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\begin{document}                                                                  % Starter dokumentet efter preamble
\pagestyle{empty}                                                                 % Sidehoved og sidefod for forsiden
\input{forside.tex}                                                               % Input af forsiden, der ligger i forside.tex
% START PÅ AFLEVERINGSOPGAVEN SELV ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\newpage                                                                          % Ny side efter forsiden er indsat
\pagestyle{fancy}                                                                 % Sidehoved og sidefod for resten af dokumentet
\setcounter{page}{2}                                                              % Resten af afleveringen har sidenummer 2 og frem



\section*{Lin.Alg. Ugeopgave 2} \setcounter{section}{2}                           % reset tælleren til at nummerere sections (ugeopgavenummer)
\subsection{Potensmatricer:}
\subsubsection*{Delopgave a}
Jeg skal i Maple bestemme 
\begin{equation*}
 A, A^2, A^3,..., A^{19}, A^{20} \quad \text{og} \quad B, B^2, B^3,..., B^{19}, B^{20}
\end{equation*}
for de to matricer
\begin{equation}
 A = 
 \left[
    \begin{array}{c c}
      1 & 1 \\
      1 & 0 
    \end{array}
 \right] \qquad 
 B = 
 \left[
    \begin{array}{c c}
      0 & i \\
      i & 0 
    \end{array}
 \right]  \label{1AB}
\end{equation}
for derefter at forsøge at give en systematisk beskrivelse af udfaldet. 

Jeg har i Maple først defineret matricen $A$ givet i \eqref{1AB} for derefter at bruge en sekvens for at få alle potensmatricerne ud (jeg vælger at dele denne sekvens lidt over, da det ellers bliver for uoverskueligt):
\input{mapleexports/2.1a1.tex}
\noindent Det der dukker frem her er faktisk en del af en Fibonacci-række. De to tal i øverste højre ($a_{12}$) og nederste venstre hjørne ($a_{21}$) er altid ens, og for hver gang man går en potens op bliver tallet i disse to hjørner flyttet ned til nederste højre hjørne ($a_{22}$), mens det bliver lagt til i øverste venstre hjørne ($a_{11}$). Dette gør at $a_{22}$ følger sekvensen
\begin{multline*}
 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \\ 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, \cdots \text{,}
\end{multline*}
mens $a_{12}$ og $a_{21}$ følger sekvensen
\begin{multline*}
 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, \\ 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, \cdots \text{,}
\end{multline*}
og $a_{11}$ følger sekvensen
\begin{multline*}
 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, \\ 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, \cdots \text{.}
\end{multline*}
Fibonaccirækken er givet ved funktionen
\begin{equation}
 F(n) = \frac{\phi^{n} - (1-\phi)^{n}}{\sqrt{5}} \qquad \text{hvor} \qquad \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{.}
 \label{fibbonacci}
\end{equation}
Specielt kan bemærkes at $\phi$ er det man normalt kalder det gyldne snit. Jeg kan altså skrive min potensmatrix som en funktion af \eqref{fibbonacci} som
\begin{equation}
 A^k = 
 \left[ 
    \begin{array}{cc}
      \frac{\phi^{k+1} - (1-\phi)^{k+1}}{\sqrt{5}} & \frac{\phi^{k} - (1-\phi)^{k}}{\sqrt{5}} \\
      \frac{\phi^{k} - (1-\phi)^{k}}{\sqrt{5}}     & \frac{\phi^{k-1} - (1-\phi)^{k-1}}{\sqrt{5}}
    \end{array} 
 \right]
\end{equation}
for $k \in \mathbb{N}$ (hvor jeg mener de naturlige tal uden 0). Det er meget logisk at dette sker, da jeg hele tiden ganger med en matrice ($A$ givet i \eqref{1AB}) hvori der kun er et-taller, og da man, når man ganger matricer sammen, lægger de forskellige komponenter sammen ganget med komponenter fra den anden matrice - vil jeg her få et sådant mønster. 


Med matricen $B$ givet i \eqref{1AB}, har jeg gjort det samme som for matricen $A$ og får
\input{mapleexports/2.1a2.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Dette er igen et meget bestemt mønster der kommer frem -- denne gang et mønster der gentager sig selv efter fire gange. Følgende er den række som gentages:
\begin{equation}
 \left[
    \begin{array}{cc}
      0 & i \\
      i & 0 
    \end{array}
 \right]
 \quad \rightarrow \quad 
 \left[
    \begin{array}{cc}
      -1 & 0 \\
      0  & -1 
    \end{array}
 \right]
 \quad \rightarrow \quad 
 \left[
    \begin{array}{cc}
      0  & -i \\
      -i & 0 
    \end{array}
 \right]
 \quad \rightarrow \quad 
 \left[
    \begin{array}{cc}
      1 & 0 \\
      0 & 1 
    \end{array}
 \right]
 \label{foelge}
\end{equation}
Dette er en meget logisk rækkefølge, da jeg -- når jeg ganger to vilkårlige $2 \times 2$ matricer sammen -- gør som følger:
\begin{equation*}
 \left[
   \begin{array}{cc}
     p_{11} & p_{12} \\
     p_{21} & p_{22}
   \end{array}
 \right]
 \left[
   \begin{array}{cc}
     q_{11} & q_{12} \\
     q_{21} & q_{22}
   \end{array}
 \right] =
 \left[
   \begin{array}{cc}
     p_{11} q_{11} + p_{12} q_{21} & p_{11} q_{12} + p_{12} q_{22} \\
     p_{21} q_{11} + p_{22} q_{21} & p_{21} q_{12} + p_{22} q_{22}
   \end{array}
 \right]
\end{equation*}
Men eftersom $b_{11}$ og $b_{22}$ (tilsvarende $q_{11}$ og $q_{22}$ ovenfor) i $B$ altid er nul, får jeg ovenstående forkortet til følgende, når min normale metode for at udregne potenser af matricer er $B^n = B^{n-1} B$:
\begin{equation*}
  \left[
   \begin{array}{cc}
     p_{12} q_{21} & p_{11} q_{12} \\
     p_{22} q_{21} & p_{21} q_{12}
   \end{array}
 \right]
\end{equation*}
Ud fra dette kan jeg se at der ikke er noget additionsled at tage hensyn til, hvorfor jeg hele tiden bare ganger med $i$, $-i$, $1$ eller $-1$ og derved hele tiden får matricerne i \eqref{foelge}. 


\newpage
\subsubsection*{Delopgave b}
Jeg skal nu benytte Maple til at finde pæne udtryk for 
\begin{equation}
 CDF, CD^2F, CD^3F, ..., CD^{19}F, CD^{20}F
 \label{folgeb}
\end{equation}
for de tre matricer
\begin{align}
 C &= 
 \left[
    \begin{array}{c c}
      \frac{1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1-\sqrt{5}}{2} \\
      1                    & 1 
    \end{array}
 \right]  \label{1C} \\
 D &= 
 \left[
    \begin{array}{c c}
      \frac{1+\sqrt{5}}{2} & 0 \\
      0                    & \frac{1-\sqrt{5}}{2}
    \end{array}
 \right]  \label{1D} \\
 F &= 
 \left[
    \begin{array}{c c}
      \frac{1}{\sqrt{5}}  & \frac{\sqrt{5}-1}{2 \sqrt{5}} \\
      -\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2 \sqrt{5}} 
    \end{array}
 \right]  \label{1F}
\end{align}
Igen definerer jeg først matricerne i Maple: 
\input{mapleexports/2.1b1.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Derefter kan jeg udskrive med en sekvens -- som jeg deler op over flere linier for overskuelighedens skyld (jeg vil lige bemærke at jeg her inde i selve sekvensen bruger kommandoen {\verb+simplify+} for at få et helt tal i stedet for at få udskrevet en lang række af kvadratrødder og brøker):
\input{mapleexports/2.1b2.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Og jeg kan altså se at jeg endnu engang får den samme del af Fibonaccirækken som jeg fik ved at tage potenser af matricen $A$ givet i delopgave a under \eqref{1AB}. Så den simple sammenligning med potensmatricerne af $A$ er sådan set bare at de er de samme som de matricer jeg har fundet her ovenfor ved at sige som i \eqref{folgeb}. 


\subsubsection*{Delopgave c}
Jeg skal nu argumentere for at $F=C^{-1}$ og ud fra dette forklare sammenhængen mellem delopgave a og b's resultater. For den inversible matrix $M$ gælder følgende:
\begin{equation}
 M M^{-1} = I \qquad \text{og} \qquad M^{-1} M = I
 \label{invers}
\end{equation}
Så jeg kan altså bruge denne definition til at se om $F$ virkelig er den inverse $C$ ved at gange de to matricer sammen på måderne vist i \eqref{invers} og se om jeg virkelig får enhedssmatricen $I$. 

Jeg starter ud med at gange den ene vej, altså
\begin{align}
 C F &= \left[
          \begin{array}{cc}
            \frac{1+\sqrt5}{2} & \frac{1-\sqrt5}{2} \\
            1                  & 1
          \end{array}
        \right] 
        \left[
          \begin{array}{cc}
            \frac{1}{\sqrt5}   & \frac{\sqrt5 -1}{2 \sqrt5} \\
            - \frac{1}{\sqrt5} & \frac{\sqrt5 +1}{2 \sqrt5}
          \end{array}
        \right] \nonumber \\
     &= \left[
          \begin{array}{cc}
            \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt5} - \frac{1-\sqrt5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt5}  &
            \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot \frac{\sqrt5 -1}{2 \sqrt5} + \frac{1-\sqrt5}{2} \cdot \frac{\sqrt5 +1}{2 \sqrt5} \\
            1 \cdot \frac{1}{\sqrt5} - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt5}  &
            1 \cdot \frac{\sqrt5 -1}{2 \sqrt5} + 1 \cdot \frac{\sqrt5 +1}{2 \sqrt5} 
          \end{array}
        \right] \nonumber \\
     &= \left[
          \begin{array}{cc}
            \frac{1+\sqrt5 -1 + \sqrt5}{2 \sqrt5}  &
            \frac{(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)+(1-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{4 \sqrt5} \\
            0  &
            \frac{\sqrt5-1+\sqrt5+1}{2 \sqrt5} 
          \end{array}
        \right]
      = \left[
          \begin{array}{cc}
            1  &
            0 \\
            0  &
            1
          \end{array}
        \right] \label{cCF}
\end{align}
Her ser jeg altså at jeg får enhedsmatricen, og jeg vil nu se om jeg også får denne når jeg ganger den anden vej. Dette gør jeg lidt hurtigere ved at bruge Maple, hvor jeg får:
\input{mapleexports/2.1c1.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Og jeg ser altså at her kommer enhedsmatricen også frem, ligesom i \eqref{cCF}. Dette er argument nok for at sige at der faktisk gælder at $F=C^{-1}$, da udtrykket i \eqref{invers} jo er definitionen på den inverse matrix. 

Ud fra denne viden kan jeg nu se på sammenhængen mellem resultaterne i delopgave a og b. Begge steder (da jeg tog potenser af $A$ og potenser af $D$ ganget med $C$ og $F$) fik jeg to ens Fibonaccirækker ud, hvorfor jeg altså har følgende to sammenhænge (den første har jeg vel og mærke kun vist for $n \in [1;20]$, mens den anden gælder generelt):
\begin{align}
 A^n &= CD^nF \label{deterrigtigt} \\ 
 CF = FC = I  \quad  &\Rightarrow \quad C^{-1} = F \label{inverseafC} \text{.}
\end{align}
Jeg ved at den associative lov for tre generelle matricer $P$, $Q$ og $S$ siger at
\begin{equation*}
 PQS = (PQ)S = P(QS) \text{,}
\end{equation*}
men også at den kommutative lov siger
\begin{equation*}
 PQS \neq QSP \neq SQP \text{.}
\end{equation*}
%dog med den bemærkelse at den sidste ikke gælder generelt for alle matricer, men at den normale kommutative lov der siger at $PQS = QSP = SQP$ bare ikke gælder for alle matricer. 
%Eftersom jeg  ved at $A^n = CD^nF$ så må jeg her sidde med et tilfælde hvor jeg skal lege lidt med de ting jeg ved. 
Jeg ved at $A^n \neq D^n$, så $C$ og $F$ går ikke ud med hinanden, præcis som den kommutative lov siger det. 
%Jeg kan omskrive mit udtryk til følgende, når jeg bruger de to udtryk i \eqref{deterrigtigt}
%\begin{align}
% A^n &= CD^nF  \qquad \Leftrightarrow \nonumber \\ 
% C^{-1} A^n &= I D^n F \qquad \Leftrightarrow \nonumber \\
% F A^n &= D^n F \qquad \Leftrightarrow \nonumber \\
% F A^n F^{-1} &= D^n I \qquad \Leftrightarrow \nonumber \\
% F A^n C &= D^n \label{FACD}
%\end{align}
%Jeg kan ved hjælp af Maple se at dette faktisk passer, ved at se på udtrykket $FAC =D$:
%\input{mapleexports/2.1c2.tex}
%
%\vspace{10pt}
%\noindent Jeg kan altså se at denne venstreside af ligningen fra \eqref{FACD} er magen til $D$ givet i \eqref{1D} for $n=1$, men jeg vil ikke gå videre med at bevise at det passer for alle $n$, da jeg har vist dette ved isolering i \eqref{FACD}. 

For at komme videre og bevise at $C D^n F = A^n$ vil jeg nu gå over til at lave et induktionsbevis. Jeg ved med sikkerhed at $CDF=CDC^{-1}=A$ efter hvad jeg har givet i \eqref{inverseafC}, og vil nu gerne tage begge sider i $n$'te potens. Dette giver mig at 
\begin{equation}
 \left( CDC^{-1} \right)^n= A^n \text{,}
 \label{ntepotens1}
\end{equation}
hvorfor jeg altså nu skal vise at 
\begin{equation}
 \left( CDC^{-1} \right)^n = CD^n C^{-1} \text{.}
 \label{ntepotens}
\end{equation}
Hvis jeg beviser at \eqref{ntepotens} passer for alle $n$ viser jeg også at mit udtryk i \eqref{deterrigtigt} er sandt for alle $n$ ved hjælp af udtrykket i \eqref{ntepotens1}, som var sandt ifølge \eqref{inverseafC}. 

For at vise dette vil jeg først se på udtrykket i \eqref{ntepotens} for $n=2$. Når jeg ved at det passer for $n=2$ vil jeg derefter finde ud af om det passer for $n=k$ og derefter $n=k+1$. Hvis jeg sætter $n=2$ fra starten af kan jeg ved hjælp af Maple se at følgende gælder:

\input{mapleexports/2.1c3.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Jeg kan altså se at de to er ens, hvorfor jeg ved at for $n=2$ gælder \eqref{ntepotens}. Nu vil jeg vise hvordan udtrykket arter sig når jeg sætter $n=k$. Jeg udskriver altså til
\begin{equation*}
 \left( CDC^{-1} \right)^k = \underbrace{CDC^{-1} \cdot CDC^{-1} \cdot ... \cdot CDC^{-1}}_{k \text{ gange}} = CD^k C^{-1}
\end{equation*}
jeg ser at for hver gang jeg har et led går den sidste $C^{-1}$ ud med næste leds $C$, da $C^{-1} C = I$, derfor ender jeg ud med $CD^k C^{-1}$. For $n=k+1$ får jeg på samme måde
\begin{equation*}
 \left( CDC^{-1} \right)^{k+1} = \underbrace{CDC^{-1} \cdot CDC^{-1} \cdot CDC^{-1} \cdot ... \cdot CDC^{-1}}_{k + 1 \text{ gange}} = CD^{k+1} C^{-1}
\end{equation*}
og jeg får altså at hvis jeg sætter $n=k=2$, som jeg ved er sandt, så passer det også for $n=k=3$. Men jeg ved også at mit udtryk er sandt for $n=k+1$, hvorfor jeg altså har eftervist mit udtryk i \eqref{ntepotens} med et induktionsbevis. 

Jeg har altså ved hjælp af induktionsmetoden vist at $CD^nF=A^n$ for alle $n$, da $F=C^{-1}$. 






\newpage
\subsection{Afbilding af matricer}
\subsubsection*{Delopgave a}
Jeg skal i Maple bruge en funktion kaldt {\verb+illustrer+} til at tegne billedet af en given figur (runebogstavet {\arafamily{r}}) over følgende matricer:
\begin{align}
  A_1 = \left[ \begin{array}{cc}  0        & 1        \\ 1        & 0 \end{array}          \right] \qquad
 & A_2 = \left[ \begin{array}{cc} -1       & 0        \\ 0        & 1 \end{array}          \right] \label{A1ogA2} \\
  A_3 = \left[ \begin{array}{cc} -2        & 0        \\ 0        & 2 \end{array}          \right] \qquad
 & A_4 = \left[ \begin{array}{cc} 1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 \\ 1/\sqrt2 & -1/\sqrt2 \end{array}  \right] \label{A3ogA4}
\end{align}
Selve funktionen der skulle tegnes er givet ved følgende Maple-kode:
\input{mapleexports/2.2a1.tex}

\noindent Jeg har forkortet {\verb+illustrer+} kommandoen lidt i forhold til hvad den kunne i maplemanualen for denne gang -- da det bliver uoverskueligt hvis man skal tegne flere afbildinger i samme plot hvis den stadig skriver matricen man afbilder i øverste højre hjørne. Det min version af {\verb+illustrer+} gør er bare at tegne {\verb+futhark+} og den ændrede version af {\verb+futhark+} med hensyn til den matrice som jeg beder den om at ændre for. 

\vspace{10pt}
For at få Maple til at arbejde med mine matricer givet i \eqref{A1ogA2} og \eqref{A3ogA4} skal jeg selvfølgelig lige definere disse i programmet:
\input{mapleexports/2.2amatricer.tex}

\vspace{10pt}
\noindent Efter at have gjort dette kan jeg bede {\verb+illustrer+} om at tegne dem. For at spare plads vælger jeg at tegne dem alle i samme koordinatsystem -- bare med forskellige farver, og det originale {\arafamily{r}} i sort. Kommandoen for at tegne grafen er som følger:
\input{mapleexports/2.2aplot.tex}
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mapleexports/2plot2d1.pdf}
\end{figure}

\noindent Hvad jeg her har lavet er altså at jeg har kaldt {\verb+illustrer+} for matricerne $A_1$, $A_2$, $A_3$ og $A_4$, vist i henholdsvis grøn, rød, blå og gul. Jeg vil nu lige gennemgå hvad de forskellige matricer resulterer i for mit {\arafamily{r}}. 
\begin{itemize}
 \item $A_1$ er vist som det {\textcolor{green}{grønne {\arafamily{r}}}}. Det der her er sket med figuren er en spejling i linien $y=x$, hvilket også giver fin mening da $A_1$ er en type I elementær matrix der netop bytter rundt på $x$- og $y$-værdierne for figuren (da første og anden række i denne matrix er byttet om i forhold til enhedsmatricen $I$). 
 \item $A_2$ er vist som det {\textcolor{red}{røde {\arafamily{r}}}}. Figuren er her blevet spejlet i $y$-aksen, hvilket giver god mening da $A_2$ er en type II elementær matrix der laver $x$-værdierne for figuren negative ($A_2$ er en enhedsmatrix $I$ hvis første række er blevet ganget med $-1$). 
 \item $A_3$ er vist som det {\textcolor{blue}{blå {\arafamily{r}}}}. Figuren er her blevet dobbelt så stor og spejlet i både $x$- og $y$-aksen. Dette sker da matricen $A_3$ er en enhedsmatrice der er blevet ganget med $-2$, hvorfor alle koordinater i figuren bliver dobbelt så store og med modsat fortegn. 
 \item $A_4$ er vist som det {\textcolor{yellow}{gule {\arafamily{r}}}}. Hvad der er sket med figuren her er en drejning omkring orego (punktet $(0,0)$ i koordinatsystemet) samt en spejling i $y$-aksen (før drejningen vel og mærke). 
\end{itemize}


\subsubsection*{Delopgave b}
Jeg er her givet to forskellige plots med figurer som i delopgave a, og skal argumentere for at den ene er mulig at lave ved hjælp af en matrixafbilding af den første, mens den anden ikke er. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\subfigure[{\scriptsize Spejlning, rotation og forstørrelse.}]    
{   \label{fig:sub:a}
    \includegraphics[height=0.43\textwidth]{mapleexports/22b1plot2.pdf}  }
\hspace{0.2cm}
\subfigure[{\scriptsize Forflytning.}] 
{   \label{fig:sub:b}
    \includegraphics[height=0.43\textwidth]{mapleexports/22b1plot.pdf}  }
\label{fig:detoversionerafR}   
\end{figure}

\noindent Jeg kan med det samme se at figuren med det røde {\arafamily{r}} er en spejling, rotation og forstørrelse af figuren på én gang -- men ikke des do mindre er det stadig muligt at klare denne forandring af figuren med en matrixafbilding. Derimod er det ikke muligt som ved det cyan {\arafamily{r}} at lægge værdier til $x$- og $y$-værdierne for figuren. Derfor er denne ikke mulig at lave med en matrixafbilding. 

Man kan altid lave en rotation af en figur ved hjælp af matrixafbildingen
\begin{equation*}
 R_{\theta} = \left[ \begin{array}{cc} \cos{\theta} & - \sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}  \end{array} \right]
\end{equation*}
hvor $\theta$ er den vinkel som man vil rotere med. Her kan man så selvfølgelig oveni multiplicere med andre matricer for at få andre afbildinger samtidig, hvilket er hvad der er sket med det røde {\arafamily{r}}. 







\end{document}





