\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{listings}
  \lstset{ %
  language=Python,                % choose the language of the code
  basicstyle=\footnotesize,       % the size of the fonts that are used for the code
  showstringspaces=false,         % underline spaces within strings
  numbers=left,                   % where to put the line-numbers
  numberstyle=\scriptsize,        % the size of the fonts that are used for the line-numbers
  stepnumber=1,                   % the step between two line-numbers. If it's 1 each line will be numbered
  numbersep=10pt,                 % how far the line-numbers are from the code
  backgroundcolor=\color{white},  % choose the background color. You must add \usepackage{color}
  showspaces=false,               % show spaces within strings adding particular underscores
  showtabs=false,                 % show tabs within strings adding particular underscores
  escapeinside={\%*}{*)}          % if you want to add a comment within your code
  }
\usepackage{rotating}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\usepackage{sectsty}  \allsectionsfont{\sffamily}
\title{Skråplan}
\author{Mads Bertelsen og Pia Jensen}
\begin{document}

% =================================== % 
%   Forside og indholdsfort.          % 
% =================================== % 
\maketitle{}
\vspace{40pt}
\begin{center}   \includegraphics[width=1.00\textwidth]{img/forside.pdf}  \end{center}

\newpage
\tableofcontents
\vspace{130pt}
{\footnotesize Billedet på forsiden viser det apparat som vi målte vinkelen på skråplanet med -- en blok med en normal vinkeltrekant på samt en let snor med et lod. Når man stiller blokken på skråplanet som vist på billedet kan man aflæse den vinkel som skråplanen har ved at sige $\tfrac{\pi}{2} - \theta$, hvor $\theta$ er den aflæste vinkel på vinkeltrekanten.}

\newpage


% =================================== % 
%   Start på dokument                 % 
% =================================== % 
\section{Formål}
Formålet med denne øvelse er at måle tyngdeaccelerationen vha. et skråplan med en kugle, og derefter optimere forsøget for at få en så nøjagtig værdi for $g$ som muligt.


\section{Teori}
Systemet der kigges på er et skråplan med en rille hvori en kugle ruller. I vejledningen er der udledt formler for kuglens bevægelse som er det teoretiske redskab til at få en tyngdeacceleration ud fra vores målinger. 

De udledte formler fra vejledningen antager at kuglen ruller ned af skråplanet uden gnidning, og der ses bort fra luftmodstand. For at finde et udtryk for $g$ bruger vi kuglens intertimoment $I = \frac{2}{5} m R^2$, hvor $m$ er massen af kuglen og $R$ er dens radius, og finder rulleradius $r$ ved hjælp af trigonometri. Vi er i vejledningen givet udtrykket 
\begin{equation*}
 a = g \frac{m \sin{\theta}}{m+ I/r^2}   \text{,}
\end{equation*}
for accelerationen $a$, hvor $g$ er tyngdeaccelerationen og $m$ er massen af kuglen. Denne kan omskrives til
\begin{equation*}
 g = a \frac{\left( m + I/r^2 \right)}{m \sin{\theta}}   \text{,}
\end{equation*}
og da vi kender inertimomentet for en kugle samt et udtryk for rulleradius til at være $r=\sqrt{R^2 - d^2}$ (fundet ved hjælp af Pythagora's læresætning -- se Figur \ref{fig:pythagoras} i Appendiks B) får vi at
\begin{equation}
 g = \frac{a}{\sin{\theta}} \left( 1 + \frac{2R^2}{5\left(R^2-d^2\right)} \right)   \text{.}
 \label{g}
\end{equation}

\subsection{Usikkerheder}
For at udregne usikkerhederne under forsøgets dataanalyse har vi brugt ophobningsloven på udtrykket i \eqref{g} givet ved
\begin{equation}
 \Delta g = \sqrt{ \left( \frac{\partial g}{\partial a} \Delta a \right)^2 
                 + \left( \frac{\partial g}{\partial R} \Delta R \right)^2 
                 + \left( \frac{\partial g}{\partial d} \Delta d \right)^2 
                 + \left( \frac{\partial g}{\partial \theta} \Delta \theta \right)^2  }      \text{.}
 \label{ophobningslov}
\end{equation}


\section{Forsøget}
Først blev der lavet en måleserie med en vinkel på ca. $15^{\circ}$ og en stålkugle. Alle nødvendige længder blev målt og deres usikkerheder anslået.

Kuglen blev sluppet fra samme sted hver gang, og dens hastighed blev målt 6 forskellige steder på skråplanet med jævn fordeling.
Vi tog 20 målinger hvert sted for at opnå en måleserie med en spredning som kan bruges som mål for usikkerheden.

Efter at have fået nogle acceptable værdier for $g$ kiggede vi på hvad der skabte afvigelsen fra den forventede værdi og hvor usikkerhederne kom fra. 
\\ \\
Den mest væsentlige fejlkilde er antagelsen at der er tale om rulning og ikke glidning. Man kan høre at kuglens lyd ændrer sig når den har rullet en hvis længde, hvilket vi tolker som at her går kuglen over til at glide i stedet for at øge vinkelhastigheden. Derfor mener vi at denne fejlkilde bliver større jo større vinkelen bliver. 

Den næste fejlkilde er luftmodstand, som er afhængig af hastigheden, og derfor kun vil spille ind ved høje vinkler i vores forsøg. Dog viste ophobningsloven at usikkerheden stort set kun afhang af målingen af vinklen, og at usikkerheden desværre bliver mindre ved høje vinkler, netop der hvor fejlkilderne bliver store.

Det er derfor meget vanskeligt at optimere forsøget da vores fejlkilder stiger mens vores usikkerheder falder ved stigende vinkel. 
Af denne grund er det nødvendigt at lave mange flere forsøg end vi har tid til for at afgøre hvordan fejlkilderne afhænger af vinklen også sammenligne dette med den teoretiske usikkerhed som funktion af vinkelen for at finde et minimum.

For at gøre dette bedst muligt har vi valgt 3 forskellige vinkler som vi har lavet forsøget under og vi sammenligner så resultaterne for at finde den bedst mulige.


\section{Dataanalyse}
Efter at have lavet en måleserie finder vi $g$ på to forskellige måder. Først fitter vi vores data som en ret $(t,v)$ linie med GNUplot. Vi fitter med kommandoerne
\lstinputlisting{fit_ret_linie.gp}
hvor vi altså først definerer en funktion, så kommer med gæt på de variable, derefter fitter ved at bruge søjlerne {\verb+5:3:4+} der svarer til søjlerne for tiden $t$, hastigheden $v$ samt usikkerheden på hastigheden $\Delta v$. Ud fra vores fit får vi en værdi for $a$, der er accelerationen ifølge sammenhængen $v=at$ fra vejledningen -- derudover får vi også givet en usikkerhed på denne værdi. 

På samme måde fitter vi et andengradspolynomium til vores data på formen $(t,s)$. Dette gør vi med kommandoerne\footnote{Vær opmærksom på at GNUplot bruger kommandoen med to asterisker til potenser, hvilket man kan se brugt på første linie af koden.}
\lstinputlisting{fit_polynomium.gp}
her fitter vi til søjlerne {\verb+5:1:2+}, der svarer til søjlerne for tiden $t$, stedet $s$ samt usikkerheden på stedet $\Delta s$. Ud fra dette fit får vi også en værdi $a$ for accelerationen ud fra sammenhængen $s=\tfrac{1}{2}at^2$ fra vejledningen, samt igen en usikkerhed på denne. 
\\ \\
Vi kan nu ved hjælp af formelen i \eqref{g} finde værdierne for $g$ ud fra de værdier for $a$ vi har fundet, samt de kendte størrelser for forsøget for massen $m$ af kuglen, vinkelen $\theta$, radius $R$ af kuglen samt stykket $d$. Vores målinger fra forsøget er vist i Appendiks A, mens resultaterne af vores forskellige fits er vist i Appendiks C. 

Vores fundne værdier for $g$ er at se i Tabel \ref{tabeloverg}. Her ser man at de fleste af værdierne er i størrelsesordenen af den værdi vi ville regne med at finde, nemlig omkring $9.815$ $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, som den er opgivet til i laboratoriet af vores vejledning. 

\begin{table}[htb]
 \centering
 \begin{tabular}{|l||r|r|}
  \hline
  Forsøg&       $g$ via $(t,v)$&                               $g$ via $(t,s)$ \\\hline \hline
  Oprindeligt&  9.2 $\pm$ 0.3 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ & 9.6 $\pm$ 0.4 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ \\\hline
  Optimering 1& 9.5 $\pm$ 0.2 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ & 9.8 $\pm$ 0.5 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ \\\hline
  Optimering 2& 9.5 $\pm$ 0.2 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ & 9.9 $\pm$ 0.5 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ \\\hline
  Optimering 3& 9.5 $\pm$ 0.7 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ & 8   $\pm$ 1   $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ \\\hline
  Optimering 4& 9.3 $\pm$ 0.7 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ & 9.5 $\pm$ 0.7 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ \\\hline
 \end{tabular} 
 \caption{Tabel over de udregnede værdier for $g$ fundet ved hjælp af \eqref{g}. Usikkerhederne er udregnet ved hjælp af ophobningsloven opskrevet i \eqref{ophobningslov}.}
 \label{tabeloverg}
\end{table}

Vi kan nu gå videre til at se på hvordan vores optimeringer rent faktisk har givet bedre/dårligere resultater end det oprindelige forsøg.


\subsection{Optimeringer}
Nu vil vi lige gennemgå hvad de fire forskellige optimeringsforsøg har forsøgt at optimere, for derefter at kunne vurdere hvilken af optimeringerne der har givet det bedste resultat. 
\begin{enumerate}
\item[{\bfseries Opt.}]{\bfseries 1:} Denne optimering handlede udelukkende om vinkel. Vi hævede vinkelen op til $20^{\circ}$ fra de før omkring $14^{\circ}$ og tog så målinger med den før brugte metalkugle. 

\item[{\bfseries Opt.}]{\bfseries 2:} Denne optimering gjaldt både kuglens masse i forhold til radius samt vinkelen, så vi hævede igen vinkelen til $20^{\circ}$ og tog derudover en kugle af plastik i stedet for den af metal -- vel og mærke med næsten samme radius.

\item[{\bfseries Opt.}]{\bfseries 3:} Denne optimering handlede så igen kun om vinkelen, som vi denne gang sænkede ned til $7^{\circ}$, mens vi beholdt metalkuglen.

\item[{\bfseries Opt.}]{\bfseries 4:} Denne optimering var både om vinkel og kuglens masse i forhold til radius, hvorfor vi igen sænkede vinkelen til $7^{\circ}$, og derudover brugte kuglen af plastik igen. 
\end{enumerate}


\subsection{Generel diskussion af resultatet}
Vi kan i Tabel \ref{tabeloverg} se at resultaterne for $g$ generelt er lavere for vores fit til $(t,v)$ end for fittene til $(t,s)$, med undtagelse af optimering 3, hvor fittet til $(t,s)$ giver vores dårligste værdi for $g$ over hovedet. 

Generelt kan vi dog konkludere at det er de to optimeringsforsøg med en højere vinkel der giver de bedste resultater -- altså de resultater med værdier for $g$ der er tættest på den egentlige værdi, samt har den mindste usikkerhed. Der er ikke stor forskel på de to, hvorfor vi også deraf kan konkludere at der ikke er forskel på hvor meget kuglen vejer, derimod skyldes den lille forskel nok at de to kugler ikke har helt samme radius, hvorfor plastikkuglen -- der havde den største radius -- nok har fået lidt større luftmodstand en metalkuglen. 



\section{Fejlkilder}
Fejlkilderne er som nævnt at kuglen begynder at glide efter at den opnår en for stor hastighed, og at luftmodstand kan spille en rolle. Hvis luftmodstanden er en væsentlig fejlkilde vil vi se en lavere værdi for $g$ end forventet.
\\ \\
Desuden er det heller ikke momentan hastighed vi måler i forsøget, men en middelværdi for hastigheden mellem to steder.
Vi har sat hastigheden til at være hastigheden ved den første diode. Dette giver en systematisk fejlkilde på op til $2,5 \text{ cm}$ for kort sted koordinat. Man kan argumentere for at det ville være mere korrekt at sætte stedkoordinaten til lige mellem de to dioder, men det gælder kun hvis der er konstant hastighed og ikke med acceleration.

Heldigvis betyder dette ikke særlig meget når vi laver vores fits, især ikke ved $(t,v)$ grafen som bare får en nulpunkts fejl.
Det er sværere at overskue effekten på $(t,s)$ grafen som er en parabel, men da vi kun bruger konstanten foran $t^2$ burde en konstant fejl på $s$ ikke gøre meget da $a$ er et udtryk for krumningen som vil være den samme i begge tilfælde.
\\ \\
Hvis kuglen glider i stedet for at rulle bruges dens potentielle energi ikke til at give kinetisk energi i form af rulning og man skulle derfor tro at man ville få større værdi af $g$ hvis denne fejlkilde var meget væsentlig, men når den glider er der en gnidning som udfører et arbejde på kuglen, og alt efter om dette arbejde er større eller mindre end den ændring vi regner med der burde foregå i kuglens rotationsenergi vil vi få en større eller mindre værdi for $g$. Det er altså muligt at denne fejlkilde ikke betyder så meget fordi de forskellige effekter går ud med hinanden, men vi kan ikke forudsige i hvilken retning det vil trække resultatet.

\subsection{Systematiske afvigelser}
For det meste er vores værdi af $g$ blevet mindre end den værdi som vi kunne forvente. I ethvert eksperiment der indvolverer energibevarelse vil det fundne resultat blive mindre end det forventede, da der altid vil gå energi til ting som gnidning (hvis vores kugle glider i stedet for at rulle) og selv så små ting som lyd -- vibrationer. Dette er en typisk systematisk fejl som selvfølgelig også har været til stede under vores forsøg -- og som uden tvivl kan forklare en stor del af den fejlmargin vi har haft på vores resultater. 


\section{Konklusion}
Vi har ikke rigtig lært noget nyt under dette forsøg, men vi har kunne konkludere at vi har fundet en værdi for $g$ på flere forskellige måder, og at vi har set hvordan man kan optimere et forsøg ved at se på hvordan ophobningsloven opstiller de forskellige variables afhængighed -- den variabel der giver den største usikkerhed er den man skal holde lidt ekstra fokus på.

\subsection{Statistisk relevans}
Flere målinger er altid godt for statistikken, og havde vi taget flere målepunkter i flere måleserier havde vi haft et bedre overblik over vores resultater -- hvilket igen ville have givet os en endelig værdi der var langt mere holdbar end de meget svingende værdier vi har fået i vores forsøg. De usikkerheder vi har fået på vores værdier har været alt for store i forhold til værdien, i størrelsesordenen $5\%$, hvilket vi kunne have gjort mindre ved flere forsøg.

\subsection{Optimering}
Vores optimering kunne vi godt have brugt lidt mere tid på -- men vi har fundet en konklusion i at en større vinkel gav et bedre resultat, for både vores kugle af metal og vores kugle af plastik. 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%   NOTER   %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Noter under forsøget}
%Hældning af slidske $\phi$: Se figur tegnet i hånden (har taget billede af apparat til måling af vinkelen).
%\\ \\
%Kuglemasse $m$: 7.8 g $\pm$ 0.1 g
%\\ \\
%Kugleradius $R$: 1.28 cm $\pm$ 0.05 mm
%\\ \\
%Rulleradius af kugle $r$: Findes ved hjælp af Pythagoras': $r = \sqrt{R^2-\left(\frac{1}{2}d\right)^2}$
%\\ \\
%Vi har målt mellemrummet mellem rampens to sider hele vejen ned ad denne og set at inden for skydelærens sikkerhed er de to fuldkommen parallelle nedad. 




\clearpage
\appendix
\section{Målinger under forsøget}
Metalkuglen havde en masse på $m_m=7.8 \pm 0.1 \text{ g}$ mens plastikkuglen havde en masse på $m_p=2 \pm 1 \text{ g}$. Radius af metalkuglen er målt til at være $R_m=12.7 \pm 0.02 \text{ mm}$ mens radius af plastikkuglen er målt til at være $R_p = 13.94 \pm 0.02 \text{ mm}$.

Afstanden $d$, hvor $2d$ er afstanden imellem de to kanter i rillen, er målt til at være $0.298 \text{ cm} \pm 0.05 \text{ mm}$. 


\begin{table}[htb]
 \centering
 \begin{tabular}{|l|l||r|r|r|r|r|r|r|}
  \hline
    \#{}&	Kugle&	$\theta$&	$x_1$&	$x_2$&	$x_3$&	$x_4$&	$x_5$&	$x_6$\\
  \hline \hline
    0&	Metal&   $14.0^{\circ}$& $6.45$&	$18.75$&	$31.75$&	$43.80$&	$57.3$&	$71.5$\\
  \hline
    1&	Metal&	 $20.0^{\circ}$& $6.55$&	$18.30$&	$30.45$&	$42.50$&	$55.3$&	$66.5$\\
  \hline
    2&	Plastik& $20.0^{\circ}$& $6.50$&	$18.70$&	$31.50$&	$45.10$&	$57.4$&	$69.5$\\
  \hline
    3&	Metal&	 $7.0^{\circ}$&  $6.50$&	$18.60$&	$31.10$&	$43.35$&	$55.2$&	$63.8$\\
  \hline
    4&	Plastik& $7.0^{\circ}$&  $6.50$&	$18.90$&	$31.00$&	$42.30$&	$53.8$&	$69.7$\\
  \hline
    \multicolumn{2}{|l||}{Usikkerheder:}& $0.5^{\circ}$ & $0.05$ & $0.05$ & $0.05$ & $0.05$ & $0.1$ & $0.1$ \\
  \hline
 \end{tabular} 
\caption{Oversigt over forsøgene med målinger af afstanden fra forenden af kuglen til den første af de to lysdioder. Længderne $x_1$ til $x_6$ er opgivet i cm, ligesom deres usikkerheder.}
\label{tab2}
\end{table}


\clearpage
\section{Figurer}
For at kunne forklare hvordan rulleradius $r$ for en kugle findes har vi valgt at vedlægge et par illustrationer. 
\begin{figure}[htb]
 \centering
  \includegraphics[width=0.50\textwidth]{img/opstilling_rille.pdf}
 \caption{Skitse af hvordan kuglen ruller i midten af rillen. Ud fra denne kunne vi se trekanten med sidelængderne $R$, $r$ og $d$, hvorved vi fandt sammenhængen $r=\sqrt{R^2-d^2}$.}
 \label{fig:pythagoras}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
 \centering
  \includegraphics[width=0.3\textwidth]{img/opstilling_rille_trekant.pdf}
 \caption{Trekanten fra Figur \ref{fig:pythagoras} tegnet ud så man virkelig kan se hvordan man får sammenhængen ud.}
 \label{fig:pythagoras2}
\end{figure}


\clearpage
\section{Fit-resultater}
Herunder viser vi resultaterne fra vores fits med GNUplot da vi fittede til en ret funktion efter en $(t,v)$ graf. Dette er direkte output fra GNUplot:
\lstinputlisting{fit_ret_linie_resultater.gp}

\noindent Vores resultater fra fits'ene med GNUplot på polynomiet efter $(t,s)$ grafen var som følger. Dette er direkte output fra GNUplot:
\lstinputlisting{fit_polynomium_resultater.gp}




\end{document}

% NORMAL FIGUR
%
%\begin{figure}[htb]
%	\centering
%		\includegraphics[width=0.9\textwidth]{data.pdf}
%	\caption{\itshape Et eksempel på vores data med en fit-linie, her målinger fra delforsøget med en disk og den lille aksel. Man ser tydeligt hvordan trappefunktionen viser to rette linier der overtager for hinanden. }
%	\label{fig:1}
%\end{figure}

% FLERE FIGURER
%
%\begin{figure}[ht]
%\centering
%\subfigure[{\scriptsize Vores cylinder og disk.}]
%{   \label{fig:opst:a}
%    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{billede1.jpg}  }
%\hspace{0.5cm}
%\subfigure[{\scriptsize Opstillingen.}]
%{   \label{fig:opst:b}
%    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{billede2.jpg}  }
%\caption{\itshape Detaljebilleder af vores opstilling. }
%\label{fig:opst}   
%\end{figure}

% TABELLER
%
%\begin{center}
% \begin{tabular}{|l|l|l|}
%  \hline
%  {\bfseries Forsøg}    & Vinkelhastighed $\omega$            & Kinetisk energi $E_{kin}$   \\\hline
%  Cylinder, stor akse:  & $145.9 \pm 0.4 \text{ s}^{-1}$  & $9.55  \pm 0.09 \text{ J}$ \\\hline
% \end{tabular} 
%\end{center}