\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{subfigure}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\usepackage{sectsty}  \allsectionsfont{\sffamily}
\title{Faldmaskine}
\author{Mads Bertelsen, Kasper Steenstrup og Pia Jensen}
\begin{document}

% =================================== % 
%   Forside og indholdsfort.          % 
% =================================== % 
\maketitle{}
\newpage
%\tableofcontents
%\newpage


% =================================== % 
%   Start på dokument                 % 
% =================================== % 
\section{Formål}
Formålet med forsøget er at eftervise teorien for energibevarelse for roterende stive legemer.

\section{Teori}
Systemet der ses på er en cylinder der drejer om en akse hvor der er en snor rullet om, som så sidder fast i et lod. Loddet falder ned og bremses af skiven som får en vinkelhastighed.

I vejledningen udledes en formel for vinkelhastigheden $\omega$ efter et fald af højden $h$, intertimomentet $I$ af cylinderen og loddets masse $m$. Der er desuden brugt aksens tykkelse $r$ og tyngdeaccelerationen $g$, som er opgivet til $9.815 \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$: 
\begin{equation}
 \omega^2 = \frac{2mgh}{I + m r^2}   \text{.}
 \label{vinkelhastighed}
\end{equation}
Vi skal ud over denne også udregne den kinetiske energi $E_{kin}$, som er givet ved følgende:
\begin{equation}
 E_{kin} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2  \text{,}
 \label{kinetiskenergi}
\end{equation}
hvor $I = \tfrac{1}{2} M R^2$ er inertimomentet for den cylinder vi arbejder med, hvor $M$ er massen og $R$ er radius af denne. 



\section{Forsøget}
For at undersøge de forskellige parametre har vi både en skive (disk) og en cylinder til at sætte på aksen for at ændre på intertimomentet. Vi har desuden to forskellige akseltykkelser, så vi ender med at have 8 kombinationer:
\begin{itemize}
	\item Cylinder med lille akse eller stor akse
	\item Disk med lille akse eller stor akse
	\item Stor akse uden noget eller lille akse uden noget
	\item Disk \emph{og} cylinder med lille akse eller stor akse
\end{itemize}
Vi vælger ikke at bruge det sidste punkt, da usikkerheden på disse var meget stor da opstillingen rystede voldsomt da vi udførte forsøget. Cylinderen og disken er vist på Figur \ref{fig:opst:a}, mens selve akselen er vist på Figur \ref{fig:opst:b}.

Resultaterne overføres til computeren via en lysdiode der tæller tiden mellem 6 huller i en skive inde i opstillingens aksel. Der er ens afstand mellem hullerne, så tiden mellem de lyssignaler der kommer igennem hullerne er et udtryk for hvor hurtigt akselen drejer rundt. Desuden overføres tiden til hver måling. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\subfigure[{\scriptsize Vores cylinder og disk.}]
{   \label{fig:opst:a}
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{billede1.jpg}  }
\hspace{0.5cm}
\subfigure[{\scriptsize Opstillingen.}]
{   \label{fig:opst:b}
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{billede2.jpg}  }
\caption{\itshape Detaljebilleder af vores opstilling. }
\label{fig:opst}   
\end{figure}

For at undersøge usikkerhederne som vi får af GNUplot efter vi fitter vores data, gentages en af kombinationerne desuden fem gange.




\section{Dataanalyse}
Vores forsøg har vi delt op i to dele: Først og fremmest skulle vi vurdere hvordan usikkerhederne vi fik af GNUplots fits var i forhold til de egentlige fysiske usikkerheder. Derefter arbejder vi med at finde vinkelhastigheder og kinetiske energier for vores forskellige delforsøg.
\\ \\
Vi vil lige tilføje at alle usikkerheder i denne rapport er udregnet ved hjælp af teorien i den grå boks på side 75 i Taylors \emph{Error Analysis} (second edition), altså definition (3.47). 


\subsection{Usikkerhederne i GNUplot}
For at finde usikkerheder har vi udført et forsøg med disken med den lille aksel, da det var dette delforsøg som vi vurderede til at være mest usikkert. Grunden til dette var at disken vibrerede en del når den kørte rundt, hvorfor vores målinger har været lidt underlige her i forhold til når vi havde cylinderen på. 

Vores fits i GNUplot gav os følgende værdier for vinkelhastigheden, inklusive usikkerheder:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|r  l|}
  \hline
  $y_0$    & $\left[\text{s}^{-1}\right]$         \\   
  \hline
  61.7  & $\pm$ 0.02  $\qquad (0.02537\%)$  \\
  \hline
  62.1  & $\pm$ 0.02  $\qquad (0.03102\%)$  \\
  \hline
  62.0  & $\pm$ 0.02  $\qquad (0.03002\%)$  \\
  \hline
  61.8  & $\pm$ 0.02  $\qquad (0.03057\%)$  \\
  \hline
  61.6  & $\pm$ 0.02  $\qquad (0.03010\%)$  \\
  \hline
 \end{tabular} 
\end{center}

\noindent Gennemsnittet $\bar{y_0}$ af disse værdier for $y_0$ er $61.8 \text{ s}^{-1}$, og usikkerheden er udregnet til at være
\begin{equation*}
 s_{y_0} = \sqrt{\frac{\sum^{N}{\left(y_{0_i}-\bar{y_0}\right)^2}}{N-1}} = 0.17 \text{ s}^{-1}   \text{.}
\end{equation*}
Gennemsnittet af usikkerhederne givet af GNUplot er udregnet til $0.02 \text{ s}^{-1}$, hvorfor vi altså kan konkludere at usikkerheden i den fysiske verden er \emph{meget} større end den usikkerhed som GNUplot matematisk finder. 


\subsection{De egentlige forsøg}
Før vi viser målingerne fra forsøget oplister vi lige de målte størrelser af de forskellige indvirkende faktorer:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|l|l|rl|}
  \hline
     Masse af disk         &  $M_{disk}$  & 2.106  & $\pm$ $1\cdot 10^{-3}$ kg    \\
  \hline
     Masse af cylinder     &  $M_{cyl}$   & 2.136  & $\pm$ $1\cdot 10^{-3}$ kg   \\
  \hline
     Radius af disk        &  $R_{disk}$  & 0.0852 & $\pm$ $2\cdot 10^{-4}$ m \\
  \hline
     Radius af cylinder    &  $R_{cyl}$   & 0.0290 & $\pm$ $2\cdot 10^{-4}$ m \\
  \hline
     Højde af fald         & $h$          & 0.9255 & $\pm$ $2\cdot 10^{-4}$ m \\
  \hline
     Radius af lille aksel & $r_{lille}$  & 0.0100 & $\pm$ $1\cdot 10^{-4}$ m \\
  \hline
     Radius af stor aksel  & $r_{stor}$   & 0.0202 & $\pm$ $1\cdot 10^{-4}$ m \\
  \hline
 \end{tabular} 
\end{center}


\noindent For at fitte vores data bruger vi trappefunktionen
\begin{equation*}
 f(x) = \left\{\begin{array}{l} y_0 + b(x-x_0) \quad, x<x_0 \\ y_0 + d(x-x_0) \quad, x>x_0      \end{array}   \right. \text{,}
\end{equation*}
der i GNUplot bliver skrevet som
\begin{verbatim}
 f(x) = (x<x0)*(y0 + b(x-x0)) + (x>x0)*(y0 + d(x-x0))
\end{verbatim}
Et eksempel på vores data og et fit af disse er vist i Figur \ref{fig:1}. De værdier vi har fået ud fra vores forsøg er som følger:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|l|l|l|}
  \hline
  {\bfseries Forsøg}    & Vinkelhastighed $\omega$            & Kinetisk energi $E_{kin}$   \\\hline
  Cylinder, stor akse:  & $133.80 \pm 0.05 \text{ s}^{-1}$  & $8.04 \pm 0.06 \text{ J}$ \\\hline
  Cylinder, lille akse: & $172.22 \pm 0.04 \text{ s}^{-1}$  & $13.3 \pm 0.09 \text{ J}$ \\\hline
  Disk, lille akse:     & $63.59  \pm 0.03 \text{ s}^{-1}$  & $15.5 \pm 0.08 \text{ J}$ \\\hline
  Disk, stor akse:      & $61.79  \pm 0.03 \text{ s}^{-1}$  & $14.6 \pm 0.07 \text{ J}$ \\\hline
  Intet, stor akse:     & $197.9  \pm 0.3  \text{ s}^{-1}$  & $0 \text{ J}$ \\\hline
  Intet, lille akse:    & $365.6  \pm 0.5  \text{ s}^{-1}$  & $0 \text{ J}$ \\\hline
 \end{tabular} 
\end{center}

\noindent Mens de tilsvarende teoretiske værdier er som følger:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|l|l|l|}
  \hline
  {\bfseries Forsøg}    & Vinkelhastighed $\omega$            & Kinetisk energi $E_{kin}$   \\\hline
  Cylinder, stor akse:  & $145.9 \pm 0.4 \text{ s}^{-1}$  & $9.55  \pm 0.09 \text{ J}$ \\\hline
  Cylinder, lille akse: & $182.1 \pm 0.6 \text{ s}^{-1}$  & $14.9  \pm 0.1  \text{ J}$ \\\hline
  Disk, lille akse:     & $68.1  \pm 0.2 \text{ s}^{-1}$  & $17.7  \pm 0.1  \text{ J}$ \\\hline
  Disk, stor akse:      & $65.6  \pm 0.1 \text{ s}^{-1}$  & $16.5  \pm 0.1  \text{ J}$ \\\hline
  Intet, stor akse:     & $212   \pm 1   \text{ s}^{-1}$  & $0 \text{ J}$ \\\hline
  Intet, lille akse:    & $426   \pm 4   \text{ s}^{-1}$  & $0 \text{ J}$ \\\hline
 \end{tabular} 
\end{center}

\noindent Og vi ser altså at hverken vinkelhastighederne eller de kinetiske energier ligger inden for hinandens usikkerheder teoretisk og forsøgsmæssigt. Alle de eksperimentielle vinkelhastigheder er mindre end den teoretiske, hvilket kan skyldes at intertimomentet udregnet er mindre end det egentlige. Dette skyldes igen at vi kun har arbejdet med intertimomentet for cylinderen, og altså ikke for inertimomentet for akselen eller det resten af opstillingen der også drejer med. Derudover er der selvfølgelig en friktion. 

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[width=0.9\textwidth]{data.pdf}
	\caption{\itshape Et eksempel på vores data med en fit-linie, her målinger fra delforsøget med en disk og den lille aksel. Man ser tydeligt hvordan trappefunktionen viser to rette linier der overtager for hinanden. }
	\label{fig:1}
\end{figure}

Noget specielt er hvor vi så på den kinetiske energi og vinkelhastigheden for forsøget uden en cylinder, og altså kun med en aksel. Her har vi selvfølgelig sat cylindermassen til 0 kg og cylinderradiusen til 0 m, men vi ser tydeligt at der faktisk er en vinkelhastighed på akselen der viser at loddet ikke falder som et frit fald (dette kan ses i de to sidste tabeller her ovenfor, hvor den teoretiske værdi svarer til frit fald, mens den eksperimentielle er som om der stadig er en rotation sat i gang). 


\section{Fejlkilder}
Teorien bygger over en idealiseret model som vores opstilling ikke ligefrem efterligner godt. Selve opstillingen vibrerede når loddet faldt, hvilket generelt har givet uregelmæssig data, men i data'ene kan vi også se der er bølger på de rette linjer hvor der er 6 punkter per periode (primært når snoren har sluppet aksen og cylinderen er ved at bremse ned igen), hvilket tyder på at akslen ikke har været lige. Vi kunne se på den store skive at toppen bevægede sig lidt frem og tilbage når den drejede rundt, der har altså været nogle graders afvigelse.

Desuden kan det nævnes at der skal gives slip på systemet på en måde så det er helt i hvile hvilket ikke har været lige nemt ved alle kombinationer, især under delforsøget med hverken disk eller cylinder.
\\ \\
Alle vores fejlkilder peger i retning af at der tabes mere energi end den vi har taget højde for -- dette er i god overensstemmelse med de resultater vi har fået for den kinetiske energi, da disse har været lavere end den teoretiske værdi. 


\section{Konklusion}
Først og fremmest har vi fundet ud af at GNUplot ikke har styr på usikkerheder, men størrelsesordenen af vores resultater har været korrekte. Vi ved at vi har ignoreret inertimomentet for akselen, hvorfor vi har fået en tilsyneladende mindre rotationel kinetisk energi og vinkelhastighed end den teoretiske -- og hvorfor vi igen kan konkludere at det ikke er gået helt galt. 








\end{document}