\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\hyphenation{Taylor-po-ly-no-mi-um Taylor-po-ly-no-mi-et}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\section*{Matintro Ugeopgave 5 - Lynopgave}
\subsection*{5.1 - TK 1.3 - Niveaukurver til funktioner af to variable}
Denne opgave er fuldkommen lavet i Maple og er sidst i afleveringen.

\subsection*{5.2 - Taylorpolynomier for ln(x) og sin($\pi$x)}
Denne opgave er fuldkommen lavet i Maple og er sidst i afleveringen.

\subsection*{5.3 - Taylorpolynomiers restled}
Vi skal finde et udtryk for den største forskel mellem $\ln{t}$ og dennes Taylorpolynomium $T_n \ln(t)$ der er tilnærmet omkring punktet $a = 1$. Fejlen skal findes for punktet $t = 2$. 

Vi har et udtryk for den $n$'te afledte af $\ln{t}$ til at være:
\begin{equation}
 \ln^{(n)}{(t)} = (-1)^{n-1} (n-1) ! \cdot x^{-n}
 \label{5.3:diff}
\end{equation}
Desuden ved vi at et tal for $M \in \mathbb{R}$ vil der gælde:
\begin{equation}
 |\ln^{(n+1)}{(t)}| \leq M \qquad \text{ for alle } \quad x \in \left[ 1,2 \right]
 \label{5.3:formelforM}
\end{equation}
Sætter vi \ref{5.3:diff} ind i \ref{5.3:formelforM} får vi følgende udtryk for $M$:
\begin{equation}
 | (-1)^{n} n! \cdot x^{-(n+1)} | \leq M \qquad \text{ for alle } \quad x \in \left[ 1,2 \right]
 \label{5.3:formelforM2}
\end{equation}
\\
Vi ved at $x^{-(n+1)}$ er aftagende for $x > 0$; $x^{-(n+1)} \rightarrow \infty$ når $x \rightarrow 0$. Husk desuden at $n \in \mathbb{N}$. Så vores afledte som vi ser på i intervallet $\left[ 1,2 \right]$ er størst i $x=1$. Indsætter vi $x=1$ i \ref{5.3:formelforM2} får vi:
\begin{align}
 | (-1)^{n} n! \cdot x^{-(n+1)} | &= | (-1)^{n} n! \cdot 1^{-(n+1)} |  \\
                                  &= | (-1)^{n} n! \cdot 1 |  \\
                                  &= | (-1)^{n} n! |
\end{align}
Så $M$ vil altså ifølge \ref{5.3:formelforM2} maksimalt være $| (-1)^{n} n! |$. Vi kan nu indsætte vores udtryk for $M$ i funktionen for Taylorpolynomiet med restled:
\begin{align}
 |R_n \ln{(2)}| =& |\ln{(2)} - T_n \ln{(2)}| \leq \frac{| (-1)^{n} n! |}{(n+1)!} |2-1|^{n+1}  \\
                \Leftrightarrow & |\ln{(2)} - T_n \ln{(2)}| \leq \frac{| (-1)^{n} n! |}{(n+1)!} 1  \\
                \Leftrightarrow & |\ln{(2)} - T_n \ln{(2)}| \leq \frac{| (-1)^{n} |}{n+1}  \\
                \Leftrightarrow & |\ln{(2)} - T_n \ln{(2)}| \leq \frac{1}{n+1}
\end{align}
Og vi har altså eftervist den angivne formel. 
\\ \\
Resten af opgaven står i Maple i sidste del af afleveringen. 



\end{document}