\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\section*{Matintro Ugeopgave 4}
\subsection*{4.1 - TL 6.3.7 - Grænseværdi:}
Jeg skal finde grænseværdien:
\begin{equation}
 \lim_{x \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos{x}}{x^2} - \frac{\sin{x}}{x^3} \right)}
 \label{4.1:samlet}
\end{equation}
Jeg kan omskrive udtrykket ved at sætte $1/x^3$ uden for parentes så jeg får følgende:
\begin{equation}
 \lim_{x \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{x^3} \Big( x \cos{(x)} - \sin{(x)} \Big) \right)}
 \label{4.1:start}
\end{equation}
Og jeg kan nu se følgende grænseværdier de to led i stykket:
\begin{equation*}
 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1}{x^3}} = \infty \quad \text{og} \quad
 \lim_{x \rightarrow 0}{\left( \cos{(x)} \cdot x - \sin{(x)} \right)} = 0
\end{equation*}
hvorfor jeg nu sidder med et >>$\infty \cdot 0$<<-udtryk. Dette kan jeg igen omskrive til et >>$0/0$<<-udtryk ved at ``gange'' ind i parentesen igen så jeg har sat det hele på fælles brøkstreg:
\begin{equation}
 \lim_{x \rightarrow 0}{ \frac{x \cos{(x)} - \sin{(x)}}{x^3} }
 \label{4.1:start2}
\end{equation}
Dette er rigtigt nok et >>$0/0$<<-udtryk, da $x^3 \rightarrow 0$ for $x \rightarrow 0$. Når jeg har et sådant udtryk kan jeg bruge L'H$\hat{\text{o}}$pitals regel (se TL 6.3.2) og differentierer tæller og nævner (hvor jeg i tælleren bruger kædereglen -- kjernereglen på norsk -- der står i TL 6.1.5):
\begin{align*}
 \Big( x \cos{(x)} - \sin{(x)} \Big)' = - x \sin{(x)} -\cos{(x)} + \cos{(x)} &= -x \sin{(x)}  \\
 (x^3)' &= 3x^2
\end{align*}
Dette giver mig brøken $-x \sin{x} / 3x^2$ som selvfølgelig kan forkortes med $x$ i tæller og nævner:
\begin{equation*}
 \frac{-x\sin{x}}{3x^2} = \frac{-\sin{x}}{3x}
\end{equation*}
Jeg får nu et udtryk som vil have samme grænseværdi som min grænseværdi i \ref{4.1:start2} (og dermed også \ref{4.1:start} og \ref{4.1:samlet}):
\begin{equation}
 \lim_{x \rightarrow 0}{ \frac{-\sin{x}}{3x} }
 \label{4.1:start3}
\end{equation}
Jeg kan dog se det store problem her; nemlig at $- \sin{x} \rightarrow 0$ og $3x \rightarrow 0$ for $x \rightarrow 0$, hvorfor jeg altså endnu engang står med et >>$0/0$<<-udtryk. Jeg bliver nødt til at bruge L'H$\hat{\text{o}}$pitals regel én gang til. Jeg differentierer tæller og nævner og får:
\begin{align*}
 (-\sin{x})' &= - \cos{x}  \\
 (3x)' &= 3
\end{align*}
Og min grænseværdi i \ref{4.1:start3} kan altså skrives som:
\begin{equation}
 \lim_{x \rightarrow 0}{ \frac{- \cos{x}}{3} }
 \label{4.1:start4}
\end{equation}
Da $\cos{x} \rightarrow 1$ for $x \rightarrow 0$ så er denne grænseværdi altså lig med $-1/3$, hvorfor grænseværdien i \ref{4.1:samlet} også må være lig dette ifølge L'H$\hat{\text{o}}$pitals regel:
\begin{equation*}
 \lim_{x \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos{x}}{x^2} - \frac{\sin{x}}{x^3} \right)} = -\frac{1}{3}
\end{equation*}
Og jeg har altså løst opgaven.
\\ \\
Jeg skulle også løse opgaven i Maple, hvilket jeg har vedlagt i sidste del af afleveringen. 


\newpage
\subsection*{4.2 - Funktion med gaffelforskrift}
Jeg er givet en funktion $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ med en gaffelforskrift som følger:
\begin{equation}
 f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                 \frac{1-x^2}{(x+1)(x+3)}   &   x \in (- \infty ; -3) \cup (-3 ; -1) \cup (-1 ; \infty)  \\
                 1                          &   x \in \{ -3 , -1 \}
                \end{array} \right.
 \label{4.2:start}
\end{equation}

\subsubsection*{Delopgave a}
Jeg skulle i denne opgave først og fremmest plotte funktionen ind i Maple for at vise hvordan den arter sig. Dette har jeg vedlagt i slutningen af afleveringen, hvorfor jeg vil gå direkte videre til delopgave b her:

\subsubsection*{Delopgave b}
Opgaven var at finde alle diskontinuitetspunkter for $f$. Jeg kan ved at se på definitionen af funktionen for $\mathbb{R} \setminus \{ -1 , -3 \}$ få at vide, at når $x=-1$ eller $x=-3$, så bliver nævneren i brøken nul -- og man må jo ikke dividere med nul. 

Når jeg nu i min gaffelfunktion har fået at vide at disse to punkter $-1$ og $-3$ faktisk {\slshape er} defineret, bare som noget andet end brøken fra før, så er min funktion defineret i alle punkter i $\mathbb{R}$, men jeg skal altså lige finde ud af om den nu også er kontinuert i alle punkter $x$. Definitionen på kontinuitet er som følger:
\begin{equation}
 \text{$f$ er kontinuert hvis } f(x) \rightarrow f(a) \text{ for } x \rightarrow a
 \label{kont}
\end{equation}
og dette skal både gælde for $x \rightarrow a^{+}$ og $x \rightarrow a^{-}$. Jeg vil altså nu se hvordan grænseværdierne vil arte sig når jeg kommer tættere og tættere på de to punkter $-1$ og $-3$. Jeg starter ud med punktet $-3$, hvorfor jeg altså skal se på de to grænseværdier:
\begin{align}
 \text{a:} \quad \lim_{x \rightarrow -3^{+}}{\frac{1-x^2}{(x+1)(x+3)}} \label{4.2:b1a}\\
 \text{b:} \quad \lim_{x \rightarrow -3^{-}}{\frac{1-x^2}{(x+1)(x+3)}} \label{4.2:b1b}
\end{align}
Jeg kan starte ud med at indsætte værdien $-3$ ind i brøken for at se hvad denne giver:
\begin{equation*}
 \frac{1-(-3)^2}{((-3)+1)((-3)+3)} = \frac{1-9}{0} = - \frac{8}{0} 
\end{equation*}
Dette betyder at funktionen vil gå imod $- \infty$, eftersom nævneren går tættere og tættere på nul mens tælleren er en negativ størrelse. Jeg vil nu finde ud af om brøken giver samme værdi når den kommer fra højre eller fra venstre, så jeg får grænseværdierne fra \ref{4.2:b1a} og \ref{4.2:b1b}. For at se hvordan funktionen arter sig når $x \rightarrow -3^{+}$ indsætter jeg en værdi der er lidt længere til højre end $-3$ selv, jeg vælger $-2.9$. Jeg får så fortegnet:
\begin{equation*}
 \frac{1-(-2.9)^2}{((-2.9)+1)((-2.9)+3)} = \frac{\text{negativ}}{\text{negativ} \cdot \text{positiv}} = \text{positiv}
\end{equation*}
Hvorfor min grænseværdi a i \ref{4.2:b1a} må gå mod $+ \infty$. Når $x \rightarrow -3^{-}$ får jeg følgende, når jeg vælger en $x$-værdi på $-3.1$:
\begin{equation*}
 \frac{1-(-3.1)^2}{((-3.1)+1)((-3.1)+3)} = \frac{\text{negativ}}{\text{negativ} \cdot \text{negativ}} = \text{negativ}
\end{equation*}
Og altså vil min grænseværdi i \ref{4.2:b1b} må gå mod $- \infty$. Altså har jeg de to grænseværdier \ref{4.2:b1a} og \ref{4.2:b1b} til at være:
\begin{align*}
 & \text{a:} \quad \lim_{x \rightarrow -3^{+}}{\frac{1-x^2}{(x+1)(x+3)}} \rightarrow \infty \\
 & \text{b:} \quad \lim_{x \rightarrow -3^{-}}{\frac{1-x^2}{(x+1)(x+3)}} \rightarrow - \infty
\end{align*}
Ud fra min gaffelfunktionsforskrift i \ref{4.2:start} kan jeg se at for at funktionen skulle være kontinuert så skulle to grænseværdier i \ref{4.2:b1a} og \ref{4.2:b1b} gå mod 1 fra begge sider. Dette sker ikke, hvorfor jeg her har et diskontinuitetspunkt.
\\ \\
Jeg vil nu finde ud af om $x=-1$ også er et diskontinuitetspunkt, ved igen at se på grænseværdier, selvfølgelig denne gang for punktet $-1$. Jeg skal alstå finde de to grænseværdier:
\begin{align}
 \text{a:} \quad \lim_{x \rightarrow -1^{+}}{\frac{1-x^2}{(x+1)(x+3)}} \label{4.2:b2a} \\
 \text{b:} \quad \lim_{x \rightarrow -1^{-}}{\frac{1-x^2}{(x+1)(x+3)}} \label{4.2:b2b}
\end{align}
Igen indsætter jeg punktet $-1$ selv og ser hvad dette giver:
\begin{equation*}
 \frac{1-(-1)^2}{((-1)+1)((-1)+3)} = \frac{0}{0}
\end{equation*}
Jeg står nu med et >>$0/0$<<-udtryk, hvorfor jeg skal bruge L'H$\hat{\text{o}}$pitals regel. Jeg differentierer tæller og nævner og får:
\begin{align*}
 \left( 1-x^2 \right)' &= -2x  \\
 \left( (x+1)(x+3) \right)' = \left( x^2 + 4x + 3 \right)' &= 2x+4
\end{align*}
Og jeg skal altså nu bare finde grænseværdien herunder ved at indsætte $-1$:
\begin{equation}
 \lim_{x \rightarrow -1}{\frac{-2x}{2x+4}}
 \label{4.2:b3}
\end{equation}
Og jeg indsætter:
\begin{equation*}
 \frac{-2 \cdot (-1)}{2 \cdot (-1) +4} = \frac{2}{-2 +4} = 1
\end{equation*}
Og jeg ser altså at min grænseværdi er 1. Jeg vil lige se om dette passer fra begge sider, altså om den skulle være $-1$ i stedet for $1$ når den kommer fra en af siderne. Dette gør jeg ved at indsætte værdierne $-0.9$ for $x$ kommende fra højre og $-1.1$ for $x$ kommende fra venstre i min grænseværdi \ref{4.2:b3} og se hvordan den konvergerer. Jeg starter med $x=-0.9$:
\begin{equation*}
 \frac{-2\cdot(-0.9)}{2\cdot(-0.9)+4} = \frac{\text{positiv}}{\text{positiv}} = \text{positiv}
\end{equation*}
Og derefter med $x=-1.1$:
\begin{equation*}
 \frac{-2\cdot(-1.1)}{2\cdot(-1.1)+4} = \frac{\text{positiv}}{\text{positiv}} = \text{positiv}
\end{equation*}
Og jeg ser altså at grænseværdien er den samme for $x$ kommende fra højre eller venstre. Endvidere ser jeg at grænseværdien er $1$, hvilket også er den definerede funktionsværdi for min funktion \ref{4.2:start}. Derfor er $x=-1$ {\slshape ikke} noget diskontinuitetspunkt. 
\\ \\
Konklusionen er at det eneste diskontinuitetspunkt for $f$ givet ved gaffelfunktionen i \ref{4.2:start} er ved $x=-3$. Dette passer også med de observationer jeg havde i maple da jeg tegnede funktionen - selve kurven gik igennem punktet $(-1,1)$, mens punktet $(-3,1)$ lå helt alene som en prik. 


\newpage
\subsection*{4.3 - Ekstremalundersøgelse af funktion}
Jeg er givet en funktion
\begin{equation}
 f(x) = \frac{\cos{\left(x^2\right)}+x}{x^2 +2}
 \label{4.3:start}
\end{equation}
som jeg skal arbejde videre med i delopgaverne ved at undersøge dennes ekstrema og nøjagtigheden for bestemmelsen af disse.
 
\subsubsection*{Delopgave a}
Jeg skal først og fremmest redegøre for at funktionen faktisk har maksimum og minimumspunkter i intervallet $\left[0,3\right]$. Eftersom funktionen består af kontinuerte funktioner må den også selv være kontinuert, og da jeg ser på et lukket begrænset interval må der jvf. ekstremalværdisætningen i 5.3.5 i TL være både maksimum og minimum i intervallet.

 

\subsubsection*{Delopgave b}
Jeg skal ved hjælp af maple finde approksimationer af hvor mit maksimum og minimum ligger i intervallet. Dette har jeg selvfølgelig lavet i maple, og dette er vedlagt til sidst i afleveringen. 


\subsubsection*{Delopgave c}
Til sidst skulle jeg finde ud af usikkerheder på antal decimaler i de løsninger jeg har fundet. Dette har jeg også lavet i maple og vedlagt til sidst. 


\end{document}