\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\section*{Matintro Ugeopgave 2}
\subsection*{2.1 - TL 3.4.11(d) - Kompleks andengradsligning:}
Jeg har fået en kompleks andengradsligning og skal løse denne. Ligningen er givet ved
\begin{equation}
 0 = z^2 + (1-i)z-i
\end{equation}
og løses ved hjælp af formelen for løsningen af en normal andengradsligning:
\begin{equation}
 z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}
\end{equation}
Jeg indsætter værdierne fra (1) i (2) og får følgende:
\begin{align*}
 z &= \frac{-(1-i) \pm \sqrt{(1-i)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-i)}}{2 \cdot 1}  \\
   &= \frac{-1+i \pm \sqrt{-2i + 4i}}{2}  \\
   &= \frac{-1+i \pm \sqrt{2i}}{2}
\end{align*}

Jeg skal nu finde kvadratroden af det komplekse tal $2i$, hvilket jeg gør ved først at omskrive til polarformen. Jeg finder længden $r$ og vinkelen $\theta$ på følgende måde:
\begin{align*}
 r            &= \left| z \right| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2  \\
 \cos{\theta} &= \frac{a}{r} = \frac{0}{2} = 0 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2}  \\
 \sin{\theta} &= \frac{b}{r} = \frac{2}{2} = 1 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2}
\end{align*}
Så jeg har altså polarformen til at være:
\begin{equation*}
 z = 2 e^{i \left(\frac{\pi}{2}\right)}
\end{equation*}
Jeg finder kvadratroden af et komplekst tal på polarform ved at tage kvadratroden af længden, $\sqrt{r}$, og halvdelen af vinkelen så man får $\frac{\theta}{2}$. Den første rod af mit komplekse tal er altså:
\begin{equation}
 \omega_0 = \sqrt{2} e^{i \frac{\frac{\pi}{2}}{2}} = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}} = 1+i
\end{equation}
Den anden rod vil være den samme med vinkelen adderet $\frac{2 \pi}{2}$, altså:
\begin{equation*}
 \omega_0 = \sqrt{2} e^{i \left(\frac{\frac{\pi}{2}+\pi}{2}\right)} = \sqrt{2} e^{i \frac{3}{4}\pi} = -1-i
\end{equation*}
Jeg skal nu indsætte (3) i (2) og får ligningen:
\begin{equation*}
 z = \frac{-1+i \pm \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}}{2}
\end{equation*}
Som kan udskrives til:
\begin{equation*}
 z = \frac{-1+i \pm \left( 1+i \right)}{2}
\end{equation*}
Her er det nemt at se at begge de to rødder faktisk er med selv om jeg kun har indsat den ene. $\pm$ tegnet før det komplekse tal jeg har fundet som $\omega_0$ sørger nemlig for at begge rødder kommer med alligevel (det negative af $\omega_0$ er tydeligt $\omega_1$). Ligningen har altså de to løsninger:
\begin{align*}
 z_1 &= \frac{-1+i + \left( 1+i \right)}{2} = i \\
 z_2 &= \frac{-1+i - \left( 1+i \right)}{2} = -1
\end{align*}
Så løsningen af den komplekse andengradsligning er altså $z_1 = i \wedge z_2 = -1$. 


\subsection*{2.2(a) - Førsteordens differentialligning:}
Jeg skal finde en funktion $y(t)$ der opfylder differentialligningen med begyndelsesbetingelsen: 
\begin{equation*}
 y'(t)= t \sqrt{1-{y(t)}^2}, \qquad  y(0)=0
\end{equation*}
Denne kan omskrives til:
\begin{equation}
 \frac{y'(t)}{\sqrt{1-{y(t)}^2}} = t
\end{equation}
Denne differentialligning kan tydeligt løses med separation af de variable. Jeg integrerer på begge sider og erstatter $dt$ og $dy$ på venstre side:
\begin{align*}
 \int{\frac{y'(t)}{\sqrt{1-{y(t)}^2}} dt} &= \int{t dt}   \Leftrightarrow \\
 \int{{\frac{1}{\sqrt{1-{y(t)}^2}}} dy}   &= \int{t dt}  
\end{align*}
Jeg har ved hjælp af Maple (denne udregning er vedlagt bagerst i afleveringen) løst integralet på venstre side til at være følgende:
\begin{equation*}
 \int{{\frac{1}{\sqrt{1-{y(t)}^2}}} dy} = \arcsin{y} + C_1
\end{equation*}
Og højre side er et simpelt integrale der giver:
\begin{equation*}
 \int{t dt} = \frac{1}{2} t^2 + C_2
\end{equation*}
Disse to sat sammen er altså følgende, som jeg forkorter lidt og isolerer $y$ i:
\begin{align*}
 \arcsin{y} + C_1 &= \frac{1}{2} t^2 + C_2  \Leftrightarrow \\
 \arcsin{y}       &= \frac{1}{2} t^2 + C    \Leftrightarrow \\
 y                &= \sin{\left(\frac{1}{2} t^2  + C\right)}
\end{align*}
Jeg har her i sidste omskrivning taget $\sin{}$ på begge sider af lighedstegnet, hvilket resulterer i at værdimængden for $y$ kun må gå i intervallet $\left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$, dette er dog intet problem for funktionen, da denne er en sinusfunktion der selvfølgelig kun går i værdimængdeintervallet $\left[ -1 , 1 \right]$. Før jeg ud fra dette kan finde definitionsmængden for funktionen, altså de værdier som $t$ kan antage, skal jeg nødvendigvis finde konstanten $C$.

For at finde konstanten $C$ skal jeg se på begyndelsesbetingelsen $y(0)=0$. Jeg indsætter betingelsen i ligningen og løser med hensyn til $C$ for at finde dennes værdi:
\begin{align*}
 0 &= \sin{\left( \frac{1}{2} 0^2 + C \right)} \\
   &= \sin{C}  \\
   &\Updownarrow  \\
 C &= \arcsin{0}  \\
   &= 0
\end{align*}
Så da $C=0$ må min løsning til differentialligningen være:
\begin{equation*}
 y = \sin{\frac{1}{2} t^2}
\end{equation*}

Jeg mangler nu kun at finde definitionsmængden $Dm(y)$ for $t$ i funktionen. Jeg kan i selve differentialligningen se at der er en kvadratrod som jeg smider i nævneren for en brøk i (4), derfor må denne kvadratrod ikke blive nul, hvorfor ${y(t)}^2$ ikke må blive 1. Dette kan jeg opstille som en ligning:
\begin{align*}
 {y(t)}^2                               &= 1  \Leftrightarrow  \\
 {\left(\sin{\frac{1}{2} t^2}\right)}^2 &= 1  \Leftrightarrow  \\
 \sin{\frac{1}{2} t^2}                  &= \sqrt{1}  \Leftrightarrow  \\
 \sin{\frac{1}{2} t^2}                  &= \pm 1  \Leftrightarrow  \\
 \frac{1}{2} t^2                        &= \frac{\pi}{2} + 2k \pi   \Leftrightarrow\\
 t^2                                    &= \pi + 4 k \pi \Leftrightarrow  \\
 t                                      &= \sqrt{\pi + 4 k \pi}
\end{align*}
hvor $k \in \mathbb{Z}$. Definitionsmængden er altså en mængde jeg vil kalde for $\mathbb{K}$:
\begin{equation}
 Dm(y) = \mathbb{K} \setminus \left\{ \sqrt{\pi + 4 k \pi} \lvert k \in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation}
Mængden $\mathbb{K}$ kan jeg finde ud fra selve funktionen $y$, da denne er en sinusfunktion og følgeligt har en værdimængde i intervallet $\left[ -1 , 1 \right]$. Jeg finder de to værdier for $t$ i grænserne til at være:
\begin{align*}
 \pm 1              &= \sin{\frac{1}{2} t^2}   \Leftrightarrow  \\
 \arcsin{\pm 1}     &= \frac{1}{2} t^2  \Leftrightarrow  \\
 \pm \frac{\pi}{2}  &= \frac{1}{2} t^2  \Leftrightarrow  \\
 \pm \pi            &= t^2   \Leftrightarrow  \\
 \pm \sqrt{\pm \pi} &= t 
\end{align*}
Dette er altså fire løsninger hvoraf to af dem er komplekse, disse smider jeg væk og har altså de to løsninger $\pm \sqrt{\pi}$, hvorfor intervallet for $t$ må være $\left[ - \sqrt{\pi} , \sqrt{\pi} \right]$. Eftersom dette må være mængden $\mathbb{K}$ fra intervallet i (5) kan jeg se at undtagelsen fra intervallet kan være lige meget, hvorfor den rigtige definitionsmængde $\mathbb{K}$ for t er som følger:
\begin{equation*}
 Dm(y) = \mathbb{K} = \left[ - \sqrt{\pi} , \sqrt{\pi} \right]
\end{equation*}
Jeg vil oven i dette tilføje at for at funktionen skal være mulig må intervallet jeg har fundet for $t$ være et interval hvor funktionen $y$ er kontinuert, da jeg ellers ikke kan integrere som jeg gør under separationen af de variable i starten under løsningen af differentialligningen. Desuden vil jeg også tilføje at man kan se at begyndelsesbetingelsen rent faktisk passer ind i dette interval, hvor $y(0)$ godt kan blive lig med 0.

Resten af opgaven skulle laves i Maple, og dette har jeg på de sidste sider af afleveringen.



\subsection*{2.3(a) - Andenordens differentialligning:}
Jeg skal finde alle løsninger til differentialligningen:
\begin{equation*}
 y''(x)-2y'(x)+4y(x)=0
\end{equation*}
Jeg kan se at den karakteristiske ligning for denne differentialligning er:
\begin{equation*}
 r^2 -2r+4=0
\end{equation*}
Løsningerne til denne ligning er begge komplekse, og er givet ved:
\begin{align*}
 r &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2a}  \\
   &= \frac{2 \pm \sqrt{4-4 \cdot 4}}{2}  \\
   &= \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}  \\
   &= \frac{2 \pm 2 \sqrt{3} i}{2}  \\
   &= 1 \pm \sqrt{3} i
\end{align*}
Disse to komplekst konjugerede komplekse tal er løsninger til ligningen, og disses komponenter bruger jeg til at finde min funktion $y(x)$ som er løsningen til differentialligningen:
\begin{equation*}
 y(x)=e^x \left(C \cos{\sqrt{3} x} + D \sin{\sqrt{3} x}\right)
\end{equation*}
Resten af opgaven laves i Maple, og dette har jeg på de sidste sider af afleveringen.




\end{document}