\documentclass[a4paper,dvips,12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[pdftex]{color,graphicx}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\linespread{1.2}
\begin{document}

\section*{Matintro Ugeopgave 1 (Lynopgave)}
\subsection*{TL 9.9.1(g):}
Jeg har følgende integrale som jeg skal løse. Til dette bruger jeg partiel integration to gange på integralet:
\begin{align*}
 \int{(x^2+x) \cdot \sin{x} dx} &= -(x^2+x)\cdot cos{x} - \int{-(2x+1)\cos{x} dx}  \\
                                &= -(x^2+x)\cos{x} - (-(2x+1)\sin{x} - \int{2\cdot \sin{x} dx}   \\
                                &= -(x^2+x)\cos{x}+(2x+1)\sin{x}+2\cos{x}  \\
                                &= \cos{x}(-x^2 -x+2)+\sin{x}(2x+1)+K
\end{align*}




\subsection*{TL 8.4.3(c):}
Jeg har endnu engang et integrale som skal løses. Til dette bruger jeg substitution. Integralet er som følger:
\begin{equation*}
 \int_0^1{x^2 e^{x^3} dx}
\end{equation*}
Når jeg bruger substitution vælger jeg en konstant $u$ til at være følgende:
\begin{equation*}
 u=x^3
\end{equation*}
Jeg differentierer denne og får følgende:
\begin{equation*}
 \frac{du}{dx}=3x^2 \Leftrightarrow dx=\frac{du}{3x^2}
\end{equation*}
Jeg skal lige finde de rigtige grænser:
\begin{align*}
 x&=0 \Rightarrow u=0  \\
 x&=1 \Rightarrow u=1
\end{align*}
Jeg kan nu erstatte $dx$ i mit integrale med det udtryk jeg har ovenfor, og indsætter de korrekte grænser (der heldigt nok var de samme som i det første integrale):
\begin{align*}
 \int_0^1{\frac{x^2}{3x^2} e^u du} &= \int_0^1{\frac{1}{3} e^u du}  \\
                                   &= \frac{1}{3} \cdot [e^u]_0^1   \\
                                   &= \frac{1}{3} (e^1 - e^0)  \\
                                   &= \frac{1}{3} (e-1)
\end{align*}


\subsection*{Komplekse tal:}
Jeg har det komplekse tal $z$ som er givet ved:
\begin{equation*}
 z=1+ \frac{1}{2} i
\end{equation*}
Dette komplekse tal skal jeg tage i anden potens og får følgende:
\begin{align*}
 z^2 &= (1+ \frac{1}{2} i)^2   \\
     &= (1+ \frac{1}{2} i)(1+ \frac{1}{2} i)   \\
     &= 1 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{2} i + \frac{1}{2} i \cdot \frac{1}{2} i + \frac{1}{2} i \cdot 1   \\
     &= 1 + i - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + i
\end{align*}

Nu skal jeg så tage det i tredje potens, hvor jeg her udnytter at jeg allerede kender $z^2$:
\begin{align*}
 z^3 &= z \cdot z^2  \\
     &= (1+ \frac{1}{2} i)(\frac{3}{4} + i)   \\
     &= \frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} i + i \cdot 1 + i \cdot \frac{1}{2} i   \\
     &= \frac{3}{4} + \frac{3}{8} i + i - \frac{1}{2}  \\
     &= \frac{1}{4} + \frac{11}{8} i
\end{align*}

Og nu skal jeg tage den inverse $z$:
\begin{align*}
 \frac{1}{z} &= \frac{1}{1+\frac{1}{2}i} + i \\
             &= \frac{1-\frac{1}{2}i}{1^2+(\frac{1}{2})^2}  \\
             &= \frac{1-\frac{1}{2}i}{1+\frac{1}{4}}  \\
             &= \frac{1}{\frac{5}{4}} - \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}} i   \\
             &= \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i
\end{align*}

Og til sidst skal jeg tage den inverse af $z$ i anden potens:
\begin{align*}
\frac{1}{z^2} &= \frac{1}{\frac{3}{4}+1}   \\
              &= \frac{\frac{3}{4}-i}{(\frac{3}{4})^2+1^2}  \\
              &= \frac{\frac{3}{4}-i}{\frac{9}{16}+1}  \\
              &= \frac{\frac{3}{4}-i}{\frac{25}{16}}  \\
              &= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{25}{16}} - \frac{1}{\frac{25}{16}} i  \\
              &= \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{25} - \frac{16}{25} i  \\
              &= \frac{16}{25} - \frac{16}{25} i  \\
\end{align*}





\end{document}